Límites y "L'Hopital" en dimensiones superiores.

Question

Dejemos que $f,g:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}$ ser dos $C^2$ con un punto crítico en $x_0$ y $f(x_0)=g(x_0)=0$ y $D(Df(x_0))=cD(Dg(x_0))\not= 0$ , donde $c$ es una constante. Demuestre que $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=c$ .

Intento: Intenté usar el teorema de Taylor sin mucho éxito.

Answer 1

Son necesarios otros supuestos. Considere en ${\mathbb R}^2$ el ejemplo $$f(x,y)=g(x,y):=x^2\ .$$ Entonces $D^2f(0,0)=D^2g(0,0)\ne0$ (como formas cuadráticas), pero el límite $$\lim_{y\to0}{f(0,y)\over g(0,y)}$$ no existe.

Por lo tanto, supongamos que $D^2f(0)=c\>D^2 g(0)$ , donde $H:=D^2 g(0)$ es positivo definido . Entonces para $x=r\>u$ con $r>0$ y $\ |u|=1$ tenemos $$f(x)=c\>{r^2\over2} H(u)+ o(r^2), \quad g(x)={r^2\over2} H(u)+ o(r^2)\qquad(r\to0)$$ y por lo tanto $${f(x)\over g(x)}=c{H(u)+o(1)\over H(u)+o(1)}\qquad(r\to0)\ .\tag{1}$$ Desde $H(u)>0$ cuando $|u|=1$ esto demuestra la afirmación.