$f$ es cóncavo, $g:\Bbb R \to \Bbb R$ es decreciente, demuestre que $g\circ f$ es convexo

Question

Por favor, demuestre que si la función $f$ es cóncava y $g:\Bbb R \to \Bbb R$ es decreciente, entonces $g\circ f$ es convexo.

Answer 1

Tome $s,t \geq 0$ con $s + t = 1$ . Tome $x,y \in \Bbb R$ . Por definición de concavidad, $$ f(sx + ty) \geq sf(x) + tf(y) $$ Por definición de una función decreciente, esto significa que $$ g(f(sx + ty)) \leq g(sf(x) + tf(y)) $$ En este punto, necesitaríamos una declaración adicional como " $g$ es convexo" para afirmar que $$ g(sf(x) + tf(y)) \leq s\,g(f(x)) + t\,g(f(y)) $$ Sin embargo, fuera de eso, no creo que la afirmación sea válida.

Answer 2

La función de identidad $f(x) = x$ es cóncava, por lo que el resultado implica que toda función decreciente es convexa. Dudoso...