¿Qué pasó con la *Zukunftsphantasie* de Emmy Noether?

Question

Recientemente me encontré con Peter Roquette El artículo de Sobre la historia de Artin $L$ -funciones y conductores (23 de julio de 2003) en el que habla de algunas cartas de Emil Artin y Emmy Noether a Helmut Hasse a principios de los años 30.

Artin intenta dar la forma definitiva a la definición de su $L$ -(para incluir lugares ramificados y arquimédicos), y ha demostrado lo que Hasse llama la Führerdiskriminantenproduktformel para una extensión galoisiana finita $L|K$ de campos numéricos con grupo $G=\mathrm{Gal}(L|K)$ el discriminante $\mathfrak{d}$ de $L|K$ puede descomponerse como el producto

$$ \prod_{\chi}\mathfrak{f}(\chi,L|K)^{\chi(1)} $$

que se extiende a todos los caracteres $\chi$ de $G$ , donde $\mathfrak{f}(\chi,L|K)$ denota el conductor de $\chi$ (según la definición de Artin).

Emmy Noether escribe a Hasse que está buscando una fórmula de descomposición para el dierent $\mathfrak{D}$ de $L|K$ lo que daría la fórmula del producto de Artin para el discriminante $\mathfrak{d}$ después de aplicar el mapa normativo $N_{L|K}$ . Tal vez esto es lo que ella llama su Zukunftsphantasie (una fantasía para el futuro).

Pregunta . ¿Existe tal descomposición de los diferentes $\mathfrak{D}$ ?

Answer 1

No sé si estoy interpretando bien la pregunta: ¿es posible asignar, de forma natural, un ideal $I_\chi\subset O_L$ a cada $\chi$ de tal manera que $N_{L|K} I_\chi=f(\chi,L|K)^{\chi(1)}$ ? Entonces la respuesta es No, incluso sin la palabra "naturalmente", incluso para campos ciclotómicos e incluso localmente:

Si $K={\mathbb Q}$ et $L={\mathbb Q}(\zeta_{12})={\mathbb Q}(i,\sqrt{3})$ entonces ${\rm Gal}(L/K)=C_2\times C_2$ tiene cuatro caracteres unidimensionales, de conductor $1$ , $3$ , $4$ et $12$ . Sin embargo, $3$ et $12$ no son normas de ideales de $L/K$ porque hay un único primo ${\mathfrak p}|3$ de $O_L$ con $e=f=2$ Así que $N_{L|K}{\mathfrak p}=3^2$ y la norma de cualquier ideal tiene una valoración uniforme en $3$ .

Otra forma de decir esto es que lo diferente aquí es ${\mathfrak D}={\mathfrak q}^2{\mathfrak p}$ (con ${\mathfrak q}|2, {\mathfrak p}|3$ ) y el discriminante es ${\mathfrak d}=2^43^2$ y mientras es posible dividir la parte 3 del discriminante en dos partes para los dos caracteres ramificados, no es posible para los diferentes. Así que tal vez la pregunta de Noether significa algo más?

(La observación es conjunta con mi hermano).