Imágenes intuitivas en las características p

Question

Esto es difícil, pero ¿alguien sabe de alguna imagen que recuerde la geometría p característica ( sobre campos algebraicamente cerrados ) en algún sentido? No basta con que se trate de alguna imagen que pueda entenderse también únicamente en la característica 0.

Una rápida búsqueda en la literatura ha resultado infructuosa.

Llevo tiempo pensando en hacer esta pregunta, pero nunca he tenido una necesidad imperiosa más que mi propia curiosidad. Sin embargo, ahora estoy intentando mejorar un póster incluyendo imágenes pero el tema es la geometría algebraica en la característica p.

Un ejemplo de este tipo de imagen en la Geometría Compleja sería la disposición de las curvas contraídas y ampliadas en la transformación estándar de Cremona del plano proyectivo. La de este póster es simple pero eficaz.

Creo que esta pregunta también puede ser de interés para las personas que tratan de explicar la investigación a los no matemáticos o simplemente a los matemáticos que no son geómetras.

Answer 1

No creo que se pueda dibujar algo con sentido - me sorprendería que alguien hiciera un buen dibujo del morfismo de Frobenius ;).

Dicho esto, he aquí un ejemplo (posiblemente engañoso o no relacionado con su investigación) que vi en las diapositivas de las conferencias de Benedict Gross sobre la aritmética de las curvas hiperelípticas. Tomemos un primo $p$ , digamos que $p=57$ y una ecuación de una curva hiperelíptica $y^2 = x^n + ax^{n-2} + \ldots$ con coeficientes enteros. Dibuja un $p\times p$ cuadrar y marcar las soluciones de la ecuación anterior mod $p$ . La imagen resultante muestra lo siguiente:

• Es una mezcla de caos y geometría: hay una simetría visible que proviene de la involución hiperelíptica $(x, y)\mapsto (x, -y)$ .
• Las soluciones forman un conjunto finito, en particular, hace posible los argumentos combinatorios. Podemos preguntarnos cuántos puntos hay y si nos da alguna información "geométrica". Esto no es obvio para alguien de otros campos, o para un no-matemático.

Puede incluir dibujos de la misma curva sobre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ . Creo que la ecuación $y^2 = \ldots$ y las tres imágenes juntas explican bastante bien en qué consiste la geometría algebraica sin entrar en demasiados detalles.

Answer 2

Escuché la siguiente analogía al hablar con algunos especialistas en la teoría absoluta de De Rham. Creo que el nombre de Deninger se mencionó más o menos al mismo tiempo.

Una posible forma de imaginar una variedad sobre $\mathbb{F}_p$ es como una variedad dotada de un campo vectorial distinguido, que llamamos "Frobenius". El Frobenius discreto habitual que admite potencias enteras es la evolución temporal unitaria del flujo. Las órbitas de los puntos de la variedad que se definen sobre campos finitos corresponden a curvas integrales cerradas del flujo, y suponemos que tales curvas sólo tienen periodicidad integral.

Hay algunos problemas. Si hay puntos definidos sobre un campo imperfecto, es posible que haya que considerar flujos que empiecen en algún sitio, como un submanifold distinguido. Además, no me queda claro cómo se conecta una imagen así con el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas.

Editar: (respuesta al comentario de Daniel Litt) Debo confesar que no estoy particularmente familiarizado con la idea, por lo que sólo puedo rellenar vagas conjeturas. Además, no sé por qué uno querría interpolar entre diferentes potencias de Frobenius. La idea fundamental parece ser que si examinamos el espectro de un campo finito utilizando vidrios étale en lugar de vidrios Zariski o Nisnevich, se parece mucho a un círculo, ya que el grupo fundamental étale es una terminación de $\mathbb{Z}$ . Esto sugiere que si propusiéramos algún objeto geométrico real como análogo de una variedad, $\mathbb{F}_q$ -puntos deben ser círculos distinguidos, quizás con algún automorfismo distinguido.

La imagen de los campos finitos como círculos también aparece en la especulación de la "topología aritmética" por razones similares. En este caso, los espectros de los anillos numéricos se ven como 3 manifolds, y los puntos finitos son círculos embebidos distinguidos, para los que se puede definir homológicamente algún tipo de número de enlace. Por lo que sé, ésta es otra analogía que parece estar esperando una aplicación sustancial.

Answer 3

Este no es un ejemplo tan bonito como los otros, pero siempre me imaginé la línea en la geometría de la característica cinco como un conjunto contable de puntos que brillan como luces azules de un árbol de Navidad vagamente en la forma de un paraboloide estrecho, con 0 en el vértice, con 1, 2,3, y 4 en la siguiente "altura", con los "irracionales" cuadráticos a continuación, etc. aunque el hace parecer que cada campo de orden $p^n$ contiene el campo de orden $p^{n-1}$ . Como en la respuesta de Carnahan, me imagino el automorfismo de Frobenius barajando todo en cada anillo fijo. Por último, imagino la topología de Zariski como un relleno luminoso en el paraboloide que representa las fuerzas que cada punto ejerce sobre todos los demás; es constante en todas partes, ya que en la topología de Zariski no hay un sentido real de la distancia.

Variantes más complicadas las imagino como un doble cono con luces brillantes (¡dos árboles de Navidad!) o como el paraboloide distorsionado para tener auto-intersecciones en algunas de las luces. algo así como la simulación de gravedad galáctica o péndulo esférico en este sitio web