Inversa de la suma de dos funciones

Question

Suponiendo que dos funciones son invertibles, ¿es cierto que la inversa de la suma de las dos funciones es la suma de las inversas (suponiendo que todas las funciones se comportan bien)?

Answer 1

Dejemos que $f(x) = x, g(x) = -x$ , ambos obviamente invertibles. Entonces $(f+g)(x) == 0$ que no es invertible.

Answer 2

Como gnometorule señaló en general la suma de invertible no es necesariamente invertible.. En cualquier caso, si dos funciones son estrictamente crecientes sobre $\mathbb R$ entonces su suma es invertible.. Todavía no hay ninguna conexión en general entre la inversa de la suma y los inversos.

Considere el siguiente ejemplo sencillo:

$$f(X)=X^{5}, g(x)=X \,.$$

Entonces, ambas funciones son invertibles, y también lo es $f+g$ . En cualquier caso, utilizando la Teoría de Galois, se puede demostrar que $(f+g)^{-1}(-1)$ no es un número expresable mediante radicales, y mucho menos en términos de $(-1)$ et $\sqrt[5]{(-1)}=-1$ .

Answer 3

No, este está mal. La mejor función invertible es $f(x)=x$ . Entonces $f^{-1}=x$ et $f(x)+f(x)=2f(x)$ pero $$(2f(x))^{-1}=\frac{x}{2}$$