¿Qué significa decir que un evento "pasa tiempo"?

Question

Considere la posibilidad de un 1 dimensiones de paseo aleatorio en los enteros $\mathbb{Z}$ con estado inicial $x\in\mathbb{Z}$:

\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}

donde los incrementos de $\xi_i$ I. I. D tales que a $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$.

Se puede probar que (1)

\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}

donde el subíndice indica la posición inicial.

Deje $\tau$ ser el primer paso del tiempo a estado $+1$. En otras palabras, $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$. También se puede probar que (2)

\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}

Ambas pruebas se pueden encontrar en http://galton.uchicago.edu/~lalley/Cursos/312/RW.pdf. A través de la lectura del artículo, yo no entiendo tanto de las pruebas.

Mi pregunta es, sin embargo, cuál es el significado de "tiempo" es en la primera declaración, así como en general. Si algo sucede "con el tiempo", no tiene que ocurrir en tiempo finito, ¿no es así? Si es así, ¿cuál es realmente la diferencia entre algo que no ocurre y es algo que no sucede "con el tiempo"? Instrucciones (1) y (2) en algún sentido están contradiciéndose a sí mismo a mí. Hay otros ejemplos como este?

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EDITAR

Sólo quiero añadir una motivación para la pregunta, es decir, un sencillo ejemplo de algo que sucede "con el tiempo", pero con finito de tiempo de espera.

\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}

Por lo tanto sabemos que el walker "eventualmente" mover a la izquierda, y el tiempo de espera antes de hacerlo (es decir, moverse a la izquierda) es $1/(1/2)=2$.

Ver algo que sucede "con el tiempo", pero con infinita espera "tiempo de espera", fue un buen tramo de mi imaginación. La segunda mitad de @whuber la respuesta es otro gran ejemplo.

Answer 1

¿Cómo podría usted demostrar un evento "con el tiempo que pasa"? Se llevaría a cabo un experimento con un hipotético rival. Tu oponente puede retar con cualquier número positivo $p$. Si usted puede encontrar un $n$ (que es lo que probablemente depende de $p$) para el cual la probabilidad de que el evento ocurra por el tiempo $n$ al menos $1-p$, entonces usted gana.

En el ejemplo, "$S_n$" es engañosa la notación ya que se usa tanto para referirse a un estado de una caminata al azar, así como a la totalidad de la caminata al azar en sí. Vamos a tener cuidado de distinguir. "Llega a $1$ eventualmente" se refiere a un subconjunto $\mathcal{S}$ del conjunto de todos los caminos aleatorios $\Omega$. Cada paseo $S\in\Omega$ tiene un número infinito de pasos. El valor de $S$ tiempo $n$ es $S_n$. "$S$ llega a $1$ tiempo $n$" se refiere al subconjunto de a $\Omega$ de los paseos que han alcanzado el estado de $1$ tiempo $n$. Rigurosamente, es el conjunto

$$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$$

En su respuesta a la imaginaria rival, se exponen algunos de los $\Omega_{1,n}$ con la propiedad de que

$$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$$

Debido a $n$ es arbitrario, tienes disponibles todos los elementos del conjunto

$$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$$

(Recordemos que $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ si y sólo si existe una finito $n$ que $S \in \Omega_{1,n}$, por lo que no hay infinito número de personas implicadas en esta unión.)

Su capacidad para ganar el juego muestra esta unión tiene una probabilidad superior a todos los valores de la forma $1-p$, no importa cuán pequeño $p\gt 0$ puede ser. En consecuencia, la probabilidad de que al menos $1$--y por lo tanto es igual a $1$. Usted tiene que demostrar, entonces, que

$$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$$

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Una manera sencilla de apreciar la distinción entre "pasando eventualmente" y tener una infinita espera que el primer paso es tiempo de pensar en una situación más sencilla. Para $n$ cualquier número natural, deje $\omega^{(n)}$ ser la secuencia

$$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$$

en que $n$ ceros son seguidos por una interminable cadena de unos. En otras palabras, estos son los paseos que se quedan en el origen y en algunos (finito) paso de tiempo más hasta el punto de $1$, luego de permanecer allí para siempre.

Deje $\Omega$ ser el conjunto de todos estos $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$ con el discreto sigma álgebra. Asignar una probabilidad de medir a través de

$$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$

Este fue diseñado para hacer que la oportunidad de saltar a $1$ por el tiempo de $n$ igual a $1-1/(n+1)$, lo que obviamente enfoques arbitrariamente cerca a $1$. Ganará el juego. El salto que finalmente sucede, y cuando lo hace, va a ser en un tiempo finito. Sin embargo, el esperado momento cuando ocurre es la suma de la función de sobrevivencia (que da la probabilidad de no haber saltado en el tiempo $n$),

$$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$$

que diverge. Que es debido a una relativamente grande de probabilidad está dada a tener que esperar un largo tiempo antes de saltar.

Answer 2

Que algo ocurre eventualmente significa que hay algunos punto en el tiempo en que sucede, pero hay una connotación de que uno no se refiere a cualquier momento especificado antes de que suceda. Si dices que algo va a suceder dentro de tres semanas, que es una declaración más fuerte que eventualmente sucederá. Que sucederá eventualmente no especifica un tiempo, como "tres semanas" o "años 30 billones" o "un minuto".