Por lo que entiendo, por ejemplo, en el modelo de Ising de interacciones vecinales, podemos escribir la función de partición como
$$Z = \sum_{m}\Omega(m)e^{-\beta E(m)}=\sum_{m}e^{-\beta \tilde F(m)}=e^{-\beta F}\tag 1$$
donde $\Omega(m)$ es el número de configuraciones correspondientes a una magnetización $m$ , $\tilde F(m)$ es una energía libre "parcial" correspondiente a $m$ . Es lo que se aproxima utilizando la energía libre de Landau y $F$ es la energía libre del sistema.
Ahora, el campo medio del modelo ising es:
$$H_{MF}=\frac{NqJm^2}{2}-qJm\sum_{i=1}^Ns_i \tag 2$$
Y sumando todas las configuraciones obtenemos:
$$Z_{MF}=\prod_{i=1}^N\sum_{s_i=\pm 1}e^{-\beta H_{MF}}=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}[2\cosh(\beta qJm)]^N \tag 3$$
$F(m) = -T\log(Z_{MF}(m))$ da definitivamente una energía libre variacional (el equivalente a $\tilde F$ en la ecuación (1) y no F). Usando esto, podemos encontrar la ecuación de autoconsistencia, por ejemplo minimizando $F(m)$ con respecto a $m$ .
También he visto otra forma de hacer este campo medio, con este hamiltoniano (por ejemplo en la conferencia de teoría de campos estadísticos de David Tong: 1.1.2 Teoría del campo medio ).
$$H'_{MF}=\frac{NqJm^2}{2}-qJNm^2= -NqJm^2/2\tag 4$$
donde parece que $m$ se considera igual a $\frac{1}{N}\sum_{i}s_i$ que parece un poco impar ya que creo que $m$ se supone que es un promedio térmico, no un promedio sobre "sitios". De todos modos podemos escribir la función de partición como la suma sobre todas las configuraciones (como antes) que ahora es una suma sobre posibles magnetizaciones:
$$Z'_{MF} = \sum_{m}\Omega(m)e^{\beta NqJm^2/2}\tag 5$$
De nuevo, siguiendo a David Tong, podemos encontrar $\Omega(m)$ y así lo encontramos:
$$Z'_{MF}=\sum_{m}\exp(-\beta (-NqJm^2/2 - T(\log(2)-(m+1)\log(m+1)/2-(1-m)\log(1-m)/2)))=\sum_{m}e^{-\beta \tilde F(m)}\tag 6$$
En este caso $-T\log(Z'_{MF})$ no da una energía libre variacional (es la "energía libre completa"), la energía libre variacional es (como se espera de (1)) la gran expresión en la exponencial. Y con $\tilde F(m)$ podemos encontrar la misma ecuación de autoconsistencia que antes.
Estoy confundido, estos dos enfoques me parecen iguales, y sin embargo: $-T\log(Z_{MF})$ es un variacional energía libre y $-T\log(Z'_{MF})$ no lo es (es la "energía libre completa"). En el primer caso, la energía libre variacional es $F(m)=-T\log(Z_{MF})$ mientras que en el segundo caso, la energía libre variacional es $\tilde F(m)\neq-T\log(Z'_{MF})$ .
Cuando vi por primera vez el enfoque del campo medio, me convencí de que la función de partición dada por $H_{MF}$ daría entonces un variacional energía libre. Este es el caso de $Z_{MF}$ pero no para $Z'_{MF}$ .
Entonces, ¿se supone que un enfoque de campo medio nos da una función de partición dependiente de un parámetro de orden, aquí $Z_{MF}(m)$ ? ¿O se supone que nos da una función de partición completa, aquí $Z'_{MF}$ ? ¿Por qué estos dos enfoques de campo similar/medio dan objetos diferentes al final?
Siempre me he preguntado por qué consideramos que $m$ era constante cuando evaluamos la función de partición (3) aunque estemos sumando sobre todos los valores de $s_i$ (y $m$ y $s_i$ están vinculados, en todo caso, supongo que la ecuación de autoconsistencia se encarga de esa parte). ¿Es esta la razón por la que la primera aproximación da lugar a una función de partición que depende de $m$ porque estamos trabajando con un solo valor de $m$ cuando hacemos la suma (pero parece un poco raro, ya que si sumamos sobre todos los estados posibles, debería ser equivalente a una suma sobre todas las magnetizaciones posibles)?
