Naturalidad frente a canonicidad del doble dual

Question

$\require{AMScd}$ Estoy aprendiendo algo de álgebra lineal y teoría de categorías básicas, y me han pedido que demuestre dos cosas.

1. Existe un mapa canónico $f: V \rightarrow V^{**}$
2. El siguiente diagrama conmuta:

$$ \begin{CD} V @>\phi>> W\\ @V{m_V}VV @VV{m_W}V\\ V^{**} @>>\phi^{**}> W^{**} \end{CD} $$

Para el primer problema, exponemos el mapa $v \mapsto x \mapsto x(v)$ ( nota para la posteridad : originalmente había escrito $v \mapsto v^* \mapsto v^*(v)$ , haciendo que parezca que $v$ y $v^*$ estaban relacionados).

Para el segundo, pude realizar la manipulación de símbolos necesaria (aunque tuve que hacerlo sin pensar, ya que cada expresión me resulta casi imposible de interpretar. Por ejemplo, $w^* \mapsto eval(\phi^*(w^*), v)$ es "la función que toma una función de $W$ a $k$ a una función que toma (la función de $W^*$ a $V^*$ (dado por ...) y lo aplica a $w^*$ ) y lo aplica a v").

De todos modos, he deducido que la canonicidad del primer mapa (es decir, el hecho de que sea independiente de la base) está relacionada de algún modo con la naturalidad indicada por el segundo diagrama, pero no entiendo por qué.

¿Es correcta mi inferencia, y hay una forma sencilla de entenderla (sin tener que entender mucho de teoría de categorías más allá de lo que es una transformación natural)?

Answer 1

Me extenderé un poco sobre la relación entre la naturalidad y la independencia en la elección de las bases.

La conexión es más evidente cuando se observa la transformación natural $η : \mathrm{Id} ⇒ \mathrm{Id}$ . En ese caso, la naturalidad significa que para cada $A : V → W$ tenemos $η_WA = Aη_V$ .

Obsérvese en primer lugar que la elección de la base para $V$ es lo mismo que un isomorfismo $E : ℝ^n → V$ y dado un operador $A : V → W$ y una base $F : ℝ^m → W$ , $F^{-1}AE : ℝ^n → ℝ^m$ es exactamente la matriz del operador $A$ en el par de bases dado, bajo la identificación canónica de $L(R^n, R^m)$ y $M_{mn}$ .

Ahora, aplicando la condición de naturalidad de $η$ a una elección de base $E : ℝ^n → V$ , se entiende que $η_VE = Eη_{ℝ^n}$ y por lo tanto $η_{ℝ^n} = E^{-1}η_VE$ . Esto dice literalmente que la matriz de $η_V$ es igual a (la matriz de) $η_{ℝ^n}$ en cada base $E$ de $V$ (que por cierto significa que $η$ tiene que ser igual a $rI$ para $r ∈ ℝ)$ .

En su caso tiene $η : V → V^{**}$ lo que significa que para hablar de independencia de coordenadas se necesitan bases para ambos $V$ y $V^{**}$ y no se puede pedir $η$ para ser el mismo para una elección arbitraria de estas bases. No tiene sentido intuitivamente porque todavía quieres que todo dependa sólo de la elección de la base para $V$ y obligaría a $η$ para ser $0$ de todos modos.

Afortunadamente, por la funtorialidad de $(-)^{**}$ una elección de base $E$ induce una elección de base $E' = (ℝ^n ≅ (ℝ^n)^{**} \stackrel{E^{**}}{\longrightarrow} V^{**})$ para $V^{**}$ y tenemos que $η_V$ siempre tiene el mismo aspecto en cualquier par de bases $(E, E')$ (es la matriz identidad si se elige el isomorfismo canónico para $ℝ^n ≅ (ℝ^n)^{**}$ ), por lo que $η$ vuelve a ser independiente de las coordenadas en el sentido apropiado (y el único razonable, en realidad).

En general, hablar de bases se vuelve engorroso, y es mejor pensar en automorfismos $φ : V → V$ directamente como cambios de coordenadas en $V$ o simetrías de $V$ . Entonces se puede pensar en morfismos naturales $η : FX → GX$ como de ser invariante bajo el cambio de coordenadas $(Fφ, Gφ)$ de la pareja $(FX, GX)$ que es inducido por el cambio de coordenadas del objeto base $X$ , lo que hace que el lema de que las transformaciones naturales no dependen de la elección de las coordenadas sea formalmente cierto.

Sólo hay que tener en cuenta que lo contrario no es verdadero. No todas las transformaciones entre funtores que son independientes de las coordenadas en el sentido anterior son naturales, porque la independencia de las coordenadas sólo da cuadrados de naturalidad para los isomorfismos, y no para cada morfismo en la categoría.

Answer 2

Como señaló Kevin Carlson en los comentarios, no debería definir el mapa $V \to V^{\ast\ast}$ pasando por el espacio dual $V^\ast$ ya que es totalmente innecesario.

En su lugar, definimos $V\to V^{\ast\ast}$ por, como comentó, $v \mapsto (x \mapsto x(v))$ . Esto es canónico ya que no depende de ninguna selección de base (en comparación con cualquier isomorfismo $V\cong V^\ast$ que necesariamente requiere que elijas una base).

Para demostrar que el diagrama conmuta, hay que comprobar que, dado un $v\in V$ En la parte superior/derecha obtenemos lo mismo que en la izquierda/fondo. A lo largo de la parte superior/derecha, obtenemos un elemento en $W^{\ast\ast}$ que se determina por $\phi(v) \mapsto (x\mapsto x(\phi(v))$ , donde $x\in W^\ast$ . A lo largo de la izquierda/fondo, obtenemos un elemento en $W^{\ast\ast}$ que es $$\phi^{\ast\ast} \left( v\mapsto (y\mapsto y(v)) \right),$$ donde $y\in V^\ast$ .

Debe comprobar que son los mismos averiguando qué $\phi^{\ast\ast}$ lo hace.

Categóricamente: lo que ocurre es que tenemos un isomorfismo natural $\eta: \text{id} \Rightarrow (-)^{\ast\ast}$ entre endofunctores en la categoría de espacios vectoriales sobre algún campo $k$ . Esto significa que cada uno de los componentes $V \to V^{\ast\ast}$ es un isomorfismo. La razón por la que esto es interesante es que nos asegura que hay una forma canónica de construir el isomorfismo $V\cong V^{\ast\ast}$ sin elegir una base.

Debemos comparar esto con el hecho de que no existe un isomorfismo natural $\text{id}\Rightarrow (-)^\ast$ de la identidad al functor dual, lo que significa que no existe un isomorfismo canónico $V\cong V^\ast$ . Este isomorfismo existe, sólo que nos vemos obligados a seleccionar una base para demostrarlo.