Demuestre que la función identidad de valor real es continua

Question

¿Cómo puedo demostrar con la definición de continuidad que $f : \mathbb{R} \to\mathbb{ R}$ definido por $f(x)= x$ para todos $x\in\mathbb{R}$ es continua?

Entiendo que esta función es continua, sin embargo me cuesta demostrarlo. Especialmente porque hemos estado utilizando secuencias convergentes para demostrar la continuidad de las funciones y no estoy seguro de si el libro quiere que hagamos eso aquí también.

Si es así creo que sería algo así:

Elige un $(x_k)_{k\mathbb{N}}$ en $A$ que converge a $a$ .

Elige un $ > 0$ , entonces podemos encontrar un $ > 0$ tal que $||f(x)-f(a)|| < $ para todos $x A$ con $||x-a|| < $ .

Porque $(x_k))_{k\mathbb{N}}$ converge a $a$ . Podemos encontrar un $k_0 \mathbb{N}$ tal que $||x_k-a|| < $ para todos $k\ge k_0$ . Elige un $k\ge k_0$ entonces $||f(x_k)-f(a)|| < $ y por lo tanto $(f(x_k))_{k \mathbb{N}}$ converge a $f(a)$ .

¿Sería esto correcto? Tal vez alguien podría mostrarme cómo demostrar esto sin usar secuencias convergentes.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea la función de identidad $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . He aquí seis extrañas razones por las que $f$ es continua (la número 2 te hará llorar, y la número 3 te devolverá la fe en la humanidad)

• La identidad satisface trivialmente que la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta.

• Por cada $\epsilon$ , elige $\delta = \epsilon$ . Entonces $|x-y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ . Así que la identidad es de hecho uniformemente continua.

• $f$ es diferenciable: su derivada es $\lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h} = 1$ . Por lo tanto, es continuo.

• Si $(x_n) \to x$ entonces $(f(x_n)) = (x_n) \to x = f(x)$ Así que $f$ preserva la convergencia de las secuencias.

• Consideremos la extensión hiperreal natural que escribiré $\bar{f}$ porque mi MathJax-foo no es lo suficientemente bueno y no tengo acceso a \Nprescript. Entonces si $dx$ es infinitesimal, tenemos $\bar{f}(x+dx) - \bar{f}(x) = x + dx - x = dx$ que es infinitesimal.

• $f$ es monótona y sobreyectiva . (Vale, no conozco una forma de demostrar esto que no se reduzca básicamente a la épsilon-delta del método 2. Pero es bueno saberlo).