La leche y el café, ¿acabarán alguna vez?

Question

Deja que dos vasos, numerados 1 y 2, contengan una cantidad igual de líquido, leche en el vaso 1 y café en el vaso 2. Se hace lo siguiente:

• Toma una cucharada de la mezcla del vaso 1 y viértela en el vaso 2, y
• luego tomar la misma cuchara de la nueva mezcla del vaso 2 y verterla de nuevo en el primer vaso.

Qué ocurre con las concentraciones de leche y café en los vasos después de repetir esta operación $n$ tiempos, y lo que como $n$ tiende al infinito?

Answer 1

Supongamos que el primer vaso contiene una fracción $x$ de leche, y una fracción $1-x$ de café. Inicialmente, antes de hacer la transferencia, la cantidad total de leche era el volumen de un vaso. Ahora, como $x$ de ese volumen está en el primer vaso, el resto $1-x$ ¡de la leche debe estar en el segundo vaso! Así que el segundo vaso contiene una fracción $1-x$ de la leche, y por lo tanto $x$ de café. Después de hacer la operación una vez, la cantidad de café en el primer vaso y la cantidad de leche en el segundo vaso son iguales.

Claramente, al hacer esto $n$ veces, la propiedad se mantiene. En cualquier momento, después de $n$ pasos, si $x_n$ es la fracción de leche en el primer vaso, entonces el primer vaso tiene $1-x_n$ de café, y el segundo vaso tiene $x_n$ de café y $1-x_n$ de la leche. Como $n \to \infty$ Debido a toda la mezcla, ambos vasos tenderán a contener los líquidos en la misma composición, es decir, $x_n \to \frac{1}{2}$ .

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Esto lo hicimos sin ningún cálculo más allá de utilizar el hecho de que $x + (1-x) = 1$ . Si queremos calcular el valor real de $x_n$ tenemos que hacer algo de trabajo. Pero esto también depende del volumen de la cuchara (el tamaño de la cuchara en relación con el vaso). Digamos que el volumen de la cuchara es una fracción $s$ del volumen del vaso. Entonces, después de la $n$ de la operación,

• Comenzamos con $x_n$ leche y $1 - x_n$ café en el primer vaso.
• Transferimos una cuchara al segundo vaso: esta cuchara en transferencia contiene en consecuencia $sx_n$ de leche y $s(1-x_n)$ de café.
• Ponemos esta cuchara en el segundo vaso: antes de que entrara la cuchara, el vaso contenía $1 - x_n$ leche y $x_n$ café; ahora contiene $1-x_n + sx_n= 1 + (s-1)x_n$ leche y $x_n + s(1-x_n) = s + (1-s)x_n$ café. La suma de los dos volúmenes es $(1 + s)$ (como era de esperar), por lo que la fracción de leche es $\dfrac{1 + (s-1)x_n}{1+s}$ .
• Cuando transferimos una cuchara de esto al primer vaso, lleva $s\dfrac{1 + (s-1)x_n}{1+s}$ de leche, y el resto café.
• Así, la cantidad total de leche en el primer vaso después del trasvase es $$x_{n+1} = (1-s)x_n + s\frac{1 + (s-1)x_n}{1+s} = \frac{s + (1-s)x_n}{1+s}$$ y la del café es $$1 - x_{n+1} = \frac{1 - (1-s)x_n}{1+s}.$$

Sólo como una comprobación de cordura, tenga en cuenta que si $s = 0$ (cuchara vacía) nada cambia, y si $s = 1$ (se transfiere todo de un trago), $x_{n+1} = \frac12$ inmediatamente.

Para mostrar la convergencia de $x_n$ , miramos a $$\frac{1}{2}-x_{n+1} = \frac{1-s}{1+s} \Big(\frac{1}{2}-x_n\Big).$$ $0<\frac{1-s}{1+s}<1$ Así que $\frac{1}{2}-x_n$ converge a $0$ monótona y exponencialmente rápida.

Answer 2

Que un vaso de líquido sea 1. Sea $X_n$ sea el porcentaje de leche en el vaso 1 y $Y_n$ sea el porcentaje de leche en el vaso 2 después de la $n$ operación. Sea una cuchara $\epsilon$ veces el tamaño de un vaso. Tenemos

$$ Y_{n+1} = \frac{Y_n + \epsilon X_n}{1 + \epsilon} $$

y

$$ X_{n+1} = (1 - \epsilon)X_n + \epsilon Y_{n+1} = (1-\epsilon)X_n + \frac{\epsilon}{1+\epsilon}(Y_n + \epsilon X_n) = \frac{X_n + \epsilon Y_n}{1+\epsilon}$$

Podemos escribirlo como un sistema dinámico:

$$ \begin{pmatrix} X_{n+1} \\ Y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{1+\epsilon} & \frac{\epsilon}{1+\epsilon} \\ \frac{\epsilon}{1+\epsilon} & \frac{1}{1+\epsilon} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_n \\ Y_n\end{pmatrix} $$

Sus valores propios son $1$ y $\frac{1-\epsilon}{1+\epsilon} < 1$ . Como el segundo valor propio es $<1$ tenemos que como $n \to \infty$ la configuración convergerá a $1$ eigenspace, que viene dado por $X = Y$ .

Por lo tanto: independientemente de las cantidades iniciales de leche y café en cada taza la distribución límite es que la cantidad de leche sea igual en las dos tazas y $n\to \infty$ .