Relación entre Big O (no aleatorio) y probabilidad little o

Question

Dejemos que $X_n = o_p(a_n)$ , $Y_n = o_p(b_n)$ donde $a_n$ y $b_n$ son secuencias no aleatorias de números reales y $X_n$ , $Y_n$ son secuencias de variables aleatorias. Si $a_n = O(b_n)$ como $n \rightarrow \infty$ Entonces, ¿es cierto que $X_n + Y_n = o_p(b_n)$ ?

Mi intuición me dice que esto debería ser cierto, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo formalmente. Mi razonamiento es que como $a_n$ no crece más rápido que $b_n$ entonces el $b_n$ término debe dominar. Sabemos que $X_n + Y_n = o_p(a_n+b_n)$ Entonces, como $b_n$ domina, podemos simplificarla a $o_p(b_n)$ . ¿Cómo puedo demostrar esta afirmación (si es cierta) formalmente? Estoy utilizando las definiciones de little-p o en wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_in_probability_notation

Answer 1

Primero demostramos que $X_n = o_p(b_n).$ Desde $a_n = O(b_n)$ existe un $M$ tal que $a_n \le Mb_n$ para un tamaño suficientemente grande $n$ . Entonces $$ \frac{X_n}{b_n} \le M\frac{X_n}{a_n}.$$ Así que para cualquier $\epsilon>0$ (y suficientemente grande $n$ ), $$ P(X_n/b_n > \epsilon) \le P(X_n/a_n > \epsilon/M) \to 0.$$

Una vez hecho esto, podemos terminar con $$ P\left(\frac{X_n+Y_n}{b_n}\ge \epsilon\right)\le P(\{X_n/b_n\ge \epsilon/2\}\cup\{Y_n/b_n\ge \epsilon/2\}) \\\le P(X_n/b_n\ge \epsilon/2)+P(Y_n/b_n\ge \epsilon/2) \to 0.$$