¿Es posible que un polinomio irreducible con coeficientes racionales que tienen tres ceros en una progresión aritmética?

Question

Suponga que $p(x)\in \Bbb{Q}[x]$ es irreducible de grado $n\ge3$.

Es posible que $p(x)$ tiene tres ceros $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ tal que $\alpha_1-\alpha_2=\alpha_2-\alpha_3$?

Como también se observó por Dietrich Burde cúbico no trabajo aquí, así que tenemos $\deg p(x)\ge4$. El argumento es el siguiente. Si $p(x)=x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$, luego $-c_2=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=3\alpha_2$ lo que implica que $\alpha_2$ sería racional y contradiciendo la irreductibilidad de $p(x)$.

Esto ocurrió cuando yo estaba pensando en esta pregunta. No fue el enfoque en reducir el grado de extensión $[\Bbb{Q}(\alpha_1-\alpha_2):\Bbb{Q}]$. Yo tenía la idea de que quiero encontrar un caso, donde $\alpha_1-\alpha_2$ es fijo por un gran número de elementos del grupo de Galois $G=\operatorname{Gal}(L/\Bbb{Q})$, $L\subseteq\Bbb{C}$ la división de campo de la $p(x)$. Una forma de conseguir que sería tener una gran cantidad de repeticiones entre las diferencias $\alpha_i-\alpha_j$ de las raíces $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\Bbb{C}$$p(x)$. A los fines de que la pregunta resultó ser suficiente para ser capaz de emparejar los ceros de $p(x)$ de tal manera que la misma diferencia se repite para cada par (ver mi respuesta).

Pero, ¿podemos crear "cadenas de ceros" con intervalo constante, es decir, progresiones aritméticas de ceros.

Variantes:

• Si es posible que los tres ceros, lo que acerca más progresiones aritméticas?
• ¿El cambio de escena, si reemplazamos $\Bbb{Q}$ con otro campo $K$ de característica cero? (Artin-Schreier polinomios muestran que la hipótesis sobre el carácter es relevante.)

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es NO. Supongamos por contradicción que un polinomio $P$ existe, y denotan por $S$ el conjunto de las raíces. Por hipótesis, algunas de $a\in S$ puede ser escrito $a=\frac{b+c}{2}$ donde $b,c$ son elementos distintos de a $S$. Pero dado que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre $S$, esta propiedad tiene para todos los $a\in S$. Esto motiva la siguiente definición :

Definición. Una (no vacío) set $S\subseteq {\mathbb C}$ es AP-amplia si alguna de las $a\in S$ puede ser escrito $a=\frac{b+c}{2}$ donde $b,c$ son elementos distintos de a $S$.

Tenga en cuenta que un pa-extensa $S\subseteq {\mathbb R}$ no puede tener un elemento más grande. En particular, cualquier (no vacío) de la AP-extensa $S\subseteq {\mathbb R}$ es necesariamente infinita. Esto todavía tiene en $\mathbb C$ :

Lema. Si $S\subseteq {\mathbb C}$ es AP-extensa, a continuación, $S$ es infinita (o vacío).

La prueba del lema. Supongamos por contradicción que $S$ es finito y no vacío. Entonces el conjunto $\lbrace b\in{\mathbb R}\ | \ \exists a, a+ib\in S\rbrace$ es finito y por lo tanto tiene un mayor elemento $b_0$. Deje $S_1=\lbrace z\in S \ | \ Im(z)=b_0 \rbrace$. Es fácil ver que si $a=\frac{b+c}{2}$ $a,b,c\in S$ y más $a\in S_1$, $b$ $c$ debe ser en $S_1$ también. Por lo $S_1$ es AP-amplia así. Siguiente, deje $S_2=S_1-ib_0$. A continuación, $S_2$ es AP-amplia también, sino por la construcción de $S_2\subseteq {\mathbb R}$. Por lo $S_2$ (y, por tanto, $S_1,S$ también) debe ser infinito que es imposible. Esto concluye la prueba.