$f(z)=1/z$ ¿mapea todo lo que está dentro de un círculo (dominio) hacia fuera del círculo?

Question

Esto lo escuché hace mucho tiempo y recientemente he vuelto a pensar en ello. Así que me dijeron que la función compleja $f(z)=1/z$ mapea todo lo que está dentro de un círculo a puntos fuera del círculo (la parte restante del plano complejo). ¿Por qué?

Me doy cuenta de que podemos escribir $$f(z)=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$$ para que haya un reflejo $\overline{z}$ y una dilatación $1/|z|^2$ . Pero no veo por qué entonces esto sólo mapea a los puntos fuera del círculo. ¿Puede explicarlo?

Answer 1

Un punto está dentro del círculo (unitario) si $|z|<1$ Por lo tanto $$|f(z)|=\frac{1}{|z|}>1$$ está fuera del círculo si $z$ estaba dentro del círculo, y viceversa.

Answer 2

También podemos escribir los números $z$ en forma polar como $re^{i\theta}$ , en cuyo caso $$f(z)=f(re^{i\theta})=\frac {e^{-i\theta}}r$$ Así que el ángulo se niega y el radio se invierte. Esto significa que $r\lt1\implies \frac 1r\gt 1$ y cada punto complejo se refleja en el eje real, ya que $e^{-i\theta}$ preserva la componente real (debido a $\cos$ que asigna a un ángulo negativo el mismo valor que el valor absoluto de dicho ángulo) y niega la componente imaginaria (ya que $\sin (-x)=-\sin x$ ).

Answer 3

$0 < |z| < 1$ si $1 < |1/z| < \infty$