Demostrando que $\Delta f =0$

Question

Dejemos que $\|\cdot\|$ denotan el $\mathbb R^2$ norma euclidiana.

Dejemos que a tal que $\|\mathbf a\|=1$

Dejemos que $B$ denotan el disco unitario abierto en $\mathbb R^2$

Definir $\displaystyle \begin{array}{ccccc} f & : & B & \to & R \\ & & \mathbf x& \mapsto & \frac{1-\|\mathbf x\|^2}{\|\mathbf a-\mathbf x\|^2} \\ \end{array}$

Demostrar que $\Delta f=0$ (donde $\Delta$ denota el operador de Laplace)

En $\mathbb R^2$ , $\displaystyle\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2 } +\frac{\partial^2}{\partial y^2 } $ Así que la cuestión puede reducirse a un muy tedioso cálculo.

No sé cómo conseguir una prueba clara para esto.

Gracias por proporcionar información sobre esto.

Answer 1

Si sabes lo que es una función holomorfa y que la parte real de cualquier función holomorfa es armónica (es decir, satisface $\Delta f=0$ ), puede probarlo de la siguiente manera.

Identificar $\mathbb R^2$ avec $\mathbb C$ y, en consecuencia, llame a su variable $z$ en lugar de $\mathbf x$ . Entonces un cálculo nada tedioso te da que $$f(z)={\rm Re}\left(\frac{1+\bar a z}{1-\bar a z}\right). $$ Como la función dentro de los paréntesis es holomorfa en el disco unitario, el resultado se deduce.

Otra prueba es la siguiente. Siempre identificando $\mathbb R^2$ avec $\mathbb C$ , escriba $z=re^{i\theta}$ y $a=e^{i\alpha}$ . Entonces puede comprobar (no es demasiado tedioso) que $$f(re^{i\theta})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} r^{\vert n\vert} e^{i(\theta-\alpha)}\, .$$ Utilizando la expresión del operador de Laplace en coordenadas polares (y diferenciando bajo la $\Sigma$ que está permitido), se obtiene el resultado.

Nota. La función $f$ es bastante famoso; intente una búsqueda en Internet de Núcleo de Poisson .