Sobre el finito $p$ -grupo de clase dos con centro cíclico

Question

¿Existe un número finito de $p$ -de clase dos, tal que

1. $Z(G)$ no es un subgrupo de $\Phi(G)$ , donde $Z(G)$ es el centro de $G$ y $\Phi(G)$ es el subgrupo frattini de $G$ .

2. $\dfrac{G}{Z(G)}$ es generado por 2 elementos.

3. $Z(G)$ es cíclico.

Explicación:

Para la condición 1 y 2 podemos decir $D_{8}\times C_{2}.$

Para la condición 2 y 3 podemos decir $D_{8}$ .

¿Para la condición 1 y 3?

¿Para la condición 1 y 2 y 3?

Gracias

Answer 1

El producto central de $D_8$ y $C_4$ es un ejemplo de ello. Más generalmente, para primos arbitrarios $p$ se puede tomar el producto central de un grupo extraespecial de orden $p^3$ avec $C_{p^2}$ .