Demostrar que todo espacio normado de dimensión finita tiene la misma norma que el espacio euclidiano de dimensión n

Question

Tengo un problema en el que tengo que demostrar que cada $n$ -espacio normalizado de una dimensión $E$ tiene la misma norma que el espacio euclidiano $E_n$ .

Esto es lo que tengo:

Desde $E$ est $n$ -entonces para la base $(e_1, ..., e_n)$ de $E$ hay una representación única para cada $x \in E$ es decir $x=\sum_{i=1}^{n}{\lambda_i e_i}$ .

Primero muestro para cada $x \in E$ la función $g(x)=(\lambda_1, ... \lambda_n) \in E_n$ es un isomorfismo.

Entonces demuestro que $\lVert x\rVert_{E} \le C\lVert v\rVert_{E_n}$ y, por tanto, la imagen es continua.

Después de eso muestro que $\lVert x\rVert_{E_n} \le C_2\lVert v\rVert_{E}$ y por tanto la imagen es homeomórfica.

También concluyo que $m\lVert v\rVert_{E_n} \le \lVert x\rVert_{E} \le M\lVert v\rVert_{E_n}$ por cada $x$ .

No tengo claro cómo concluir que las normas son equivalentes. ¿Cómo puedo utilizar la última desigualdad para demostrarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo que quiere demostrar no es cierto. Por ejemplo, tome $E_2$ y considerar las normas $$ \|(a,b)\|_1=|a|+|b|,\ \ \|(a,b)\|_\infty=\max\{|a|,|b|\}. $$ Entonces $$\|(1,0)\|_1\ne\|(1,1)\|_1,$$ mientras que $$ \|(1,0)\|_\infty=\|(1,1)\|_\infty.$$