¿Cómo hacer que 4 vectores (de los que se conoce la dirección pero se puede fijar la magnitud) sumen un vector conocido?

Question

Así que si tienes 4 vectores, y conoces sus direcciones (que podrían ser todas diferentes), y podrías cambiar todas sus magnitudes, ¿a qué establecerías las magnitudes iguales si quieres que los 4 vectores se sumen a otro vector que conoces?

Esto puede parecer una pregunta demasiado específica, pero la razón por la que pregunto esto es para un programa que estoy haciendo con kRPC para KSP en el que 4 motores inclinados hacen flotar un avión, incluso cuando todo el avión está inclinado. He intentado buscarlo, pero no he sabido exactamente qué buscar. No sé mucho sobre las matemáticas de los vectores. Gracias.

Answer 1

Asumiré que estamos trabajando en $3$ -Espacio D. Llama a los cuatro vectores dados $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3, \vec v_4 \in \mathbb R^3$ y que $\vec b \in \mathbb R^3$ sea el quinto vector que queremos expresar como una combinación lineal de los cuatro primeros. Entonces buscamos los pesos $c_1, c_2, c_3, c_4 \in \mathbb R$ tal que: $$ c_1\vec v_1 + c_2 \vec v_2 + c_3 \vec v_3 + c_4 \vec v_4 = \vec b $$ En términos de álgebra lineal más sofisticados, queremos saber si $\vec b \in \text{Span}\{\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3, \vec v_4\}$ . Decidir si esto es cierto o no equivale a resolver un sistema lineal de tres ecuaciones en cuatro incógnitas (lo que puede lograrse formando una matriz aumentada y resolviendo mediante eliminación gaussiana). Resulta que si al menos tres de los cuatro vectores son linealmente independientes (es decir, algunos tres vectores forman una base para $\mathbb R^3$ ), entonces se garantiza una solución única para los pesos (donde el cuarto vector no utilizado es redundante y se supone que se le da un peso de cero). Si existe una solución y queremos utilizar los cuatro vectores, hay que tener en cuenta que habrá infinitas combinaciones de pesos que pueden utilizarse para formar la combinación lineal deseada.