Estoy tomando un 'Introducción a la Matemática Superior'-tipo de curso ahora mismo, se que aprender sobre los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, teoría de números, álgebra, etc. y tuve el siguiente pensamiento:
Digamos que usted está tratando de resolver un problema en algunos matemáticos campo $A$, tiene objetos $a$ $b$ dentro de la teoría de la $A$. Te das cuenta de que los objetos de $c$ $d$ en el campo de $B$ son similares a los objetos de $a$ y $b$, y que su problema es más fácil de resolver en el campo de la $B$. Hay un manera de hacer $a \equiv c$$b \equiv d$, de modo que usted puede volver atrás y vuelta entre $A$$B$, siendo seguro que lo que sea que usted hizo en $B$ también es válido en $A$, y viceversa?
Tal vez un ejemplo podría hacer lo que estoy tratando de decir más claro. (Todavía estoy aprendiendo los conceptos básicos, soy consciente de que mi conocimiento es muy limitado, así que discúlpame si mi elección de ejemplos no es muy buena.)
Deje $A = \{a,b,c,d\}$. Deje $R$ ser una relación de equivalencia en $A$, de tal manera que $$R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)\}.$$
Ahora, vamos a decir que me quiero convertir esto en un grafo dirigido, por lo que el conjunto de vértices ser todos los elementos de a$A$, de modo que $V=A$ y el conjunto de arcos ser la relación de equivalencia en $A$ tal que $E=R$. Tenemos el siguiente gráfico:
Ahora, vamos a su matriz de adyacencia
$$ M_{ij}= \left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&0\\ 1&1&1&0\\ 1&1&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{array} \right), $$ (where $a=1,b=2,c=3,d=4$ for $i,j$).
Como podemos ver, ahora tenemos tres maneras diferentes de abordar el mismo objeto; ahora, supongamos que quiero hacer algo con la inicial de la relación, tal vez resolver algún problema o ejercicio, mi pregunta es: ¿hasta qué punto puedo usar teoremas o resultados en la Teoría de grafos o Álgebra Lineal/la Teoría de la Matriz para que me ayude a resolver el problema?
Yo sé que tal vez mi ejemplo es de muy mala calidad, pero mi pregunta es más general: dado alguna equivalencia entre algunos de los objetos matemáticos en diferentes teorías, hay una manera de sistematizar todas las cosas que me puede y no puede hacer en una teoría que preservar la equivalencia entre los objetos que estoy usando?
E. g, en mi ejemplo anterior, digamos que operan exclusivamente en la matriz de adyacencia del grafo, para intentar solucionar mi problema; tal vez hay algún teorema o proposición que hace que mi problema más fácil de Álgebra Lineal que en la Teoría de conjuntos, ¿cómo puedo demostrar que cualquiera sea el resultado que obtengo en la matriz es equivalente al resultado que me gustaría conseguir trabajo en los sets solo?
A intentar resumir, lo que yo estoy preguntando es:
- ¿Cómo puedo trabajar en un problema a partir de una rama de la matemática a otro sin perder las propiedades de los objetos con la que estoy trabajando, así que mis resultados son válidos.
- ¿Hay alguna forma de generalizar la idea de la equivalencia entre las teorías.
