Encontrar la órbita del elemento $m \in M, M = M(2, \mathbb{R})$ bajo la acción del grupo $G = GL(2, \mathbb{R})$ cartografía $m$ a $g^{-1}mg$ , $g \in G$ .

Question

Encontrar la órbita del elemento $m \in M, M = M(2, \mathbb{R})$ bajo la acción del grupo $G = GL(2, \mathbb{R})$ cartografía $m$ a $g^{-1}mg$ , $g \in G$ .

El elemento $m$ est $ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ .

La pregunta exacta que tengo al respecto: para una matriz dada, ¿cómo saber con seguridad si pertenece a la órbita?

Puedo decir que debe ser una matriz de 2x2 con $tr = det = 4$ , ya que la acción es esencialmente un cambio de coordenadas, el elemento está obviamente en la forma normal de Jordania y supongo que los otros atributos son del álgebra lineal también, pero me he quedado sin pistas. ¿Tal vez sea algún otro invariante?

Answer 1

Para este caso particular, considerando el polinomio mínimo y el polinomio característico de $m$ se puede concluir que la órbita de $m$ es el conjunto de matrices $A$ tal que $A-2I\ne0$ y $(A-2I)^2=0$ . Sin embargo, para un $m$ la órbita es el conjunto de matrices similares a $m$ y no creo que se pueda encontrar una caracterización mucho más sencilla que utilizar la forma normal de Jordan.