El centro de un producto directo de grupos y grupos abelianos

Question

Reclamación. El centro de $(G_1\times G_2,\star)$ es $Z(G_1)\times Z(G_2)$ , donde $Z(G_i)$ es el centro de $G_i$ , para $i=1,2$ .

Estoy tratando de encontrar una prueba para esto y me he confundido un poco. Mi proceso de pensamiento era demostrar que si los dos grupos $G_1$ y $G_2$ son grupos abelianos que el producto directo de estos dos grupos abelianos es también abeliano, entonces la afirmación se seguiría por el resultado de que son abelianos.

Si esa es la forma correcta de enfocar esta prueba, ¿qué dice esto entonces sobre el centro del producto directo si resulta que no son grupos abelianos? ¿Es eso posible? ¿Significa que sólo existe un centro si es abeliano?

Perdona si mi pregunta es un poco estúpida. Sólo trato de entender el problema y cómo proceder.

Answer 1

El centro de un grupo $G$ es el conjunto $Z(G)=\{g\mid gh=hg\;\forall h\in G\}$ .

En su caso $Z(G\times H)=\{(g,h)\mid (g,h)(g',h')=(g',h')(g,h)\;\forall (g',h')\in G\times H\}$ .

Podemos demostrar $Z(G)\times Z(H)=Z(G\times H)$ mirando las inclusiones:

$\subset)$ Debemos demostrar que $(g,h), g\in G, h \in H$ conmuta con cualquier otro elemento de $G\times H$ si $g\in Z(G), h\in Z(H)$ . Sea $(g',h')\in G\times H$ . Como $g\in Z(G)$ y $h\in Z(H)$ tenemos $gg'=g'g$ y $hh'=h'h$ así que $(g,h)(g',h')=(gg',hh')=(g'g,h'h)=(g',h')(g,h)$ . Por lo tanto, $(g,h)\in Z(G\times H)$ .

$\supset)$ Dejemos que $(g,h)\in Z(G\times H)$ entonces $(g,h)(g',h')=(g',h')(g,h)$ para todos $(g',h')\in G\times H$ por definición del centro. Pero entonces, $gg'=g'g$ y $hh'=h'h$ para todos $g'\in G, h'\in H$ . Por lo tanto, $g\in Z(G)$ y $h\in Z(H)$ .

En resumen, $Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$ debido a la definición del producto en el grupo $G\times H$ .

Como corolario de esto, tienes que $G$ y $H$ son abelianos si y sólo si $G\times H$ es abeliana.