Fórmula derivada para saber cuándo un número tendrá una única raíz cúbica

Question

Tengo una pregunta como la siguiente y estoy bastante seguro de que va a salir en mi examen

¿En qué condiciones en $p$ ¿tiene un número una única raíz cúbica? $\mod p$ , donde $p$ ¿es un número primo? Deduce una fórmula explícita para encontrar raíces cúbicas cuando se cumple esta condición.

Entonces, ¿tengo razón al decir que p tendrá una raíz cúbica si $p = 2$ $\mod 3$ ? No estoy seguro de por qué es así, pero recuerdo haberlo visto en alguna parte. Tanto si es así como si no, ¿puede alguien ayudarme con esta pregunta con una buena explicación de la respuesta? Se lo agradecería mucho

Answer 1

Pista: expresa tu número como una potencia de la raíz primitiva. ¿Qué potencia(s) puede ser la raíz cúbica? Recuerda que el orden del grupo multiplicativo mod $p$ es $p-1.$

Answer 2

Dejemos que $\displaystyle x^3=a\pmod p\ \ \ \ (1)$

Ahora como $p$ es primo, $p$ tiene al menos una raíz primitiva, por ejemplo $g$

Aplicando Logaritmo discreto wrt $g\pmod p,$

$\displaystyle 3\cdot$ ind $_gx\equiv$ ind $_ga\pmod{p-1}\ \ \ \ (2)$ que es una ecuación de congruencia lineal.

Utilizando Teorema de congruencia lineal , $(2)$ por lo que $(1)$ será solucionable si ind $_ga$ es divisible por $(3,p-1)=d$ . En ese caso, habrá exactamente $d$ soluciones

Si $p\equiv2\pmod3,p-1\equiv1\implies d=(p-1,3)=1$