Demuestra que si una curva cerrada en la esfera unitaria tiene una longitud menor que $2\pi$, entonces está contenida en algún hemisferio.

Question

Encontré la siguiente prueba en un libro:

"Elija cualquier punto P en la curva, viaje a mitad de camino alrededor de la curva hasta el punto $Q$ y que $N$ (que representa el Polo Norte) sea el punto a mitad de camino entre $P$ y $Q. (Dado que la distancia $d(P, Q)$ de $P$ a $Q$ es menos que $\pi$, $N$ está definido de manera única). $N$ determina un "ecuador" y si la curva se encuentra completamente en el hemisferio norte, hemos terminado. De lo contrario, la curva cruza el ecuador, y dejemos que $E$ sea uno de los puntos en los que lo hace. Entonces, observamos que $d(E, P) + d(E, Q) = \pi$, ya que si empuja a $P$ a través del plano ecuatorial a $P'$ en el otro lado, $P'$ es antipodal a $Q; por lo tanto, $d(E, P') + d(E, Q) = \pi$. Sin embargo, para cualquier punto $X$ en la curva, $d(P, X) + d(X, Q)$ debe ser menor que $\pi, y esto proporciona la contradicción deseada."

No entiendo del todo cómo funciona esto. Supongo que la idea es construir un hemisferio para que la curva se encuentre en él. Pero ¿cómo determina $N$ un ecuador? ¿No necesitamos al menos dos puntos? Y ¿cómo indica $d(E, P') + d(E, Q) = \pi$ que $d(E, P) + d(E, Q) = \pi$?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Me estoy refiriendo a la siguiente figura. El bucle dado tiene la misma longitud $\pi$ desde $P$ hasta $Q$ a lo largo de ambos arcos conectores. Se sigue que la distancia esférica $d(P,Q)<\pi$, de modo que hay un único gran círculo que contiene a $P$ y $Q, y hay un polo norte $N$ a mitad de camino en el arco más corto del gran círculo que conecta $P$ y $Q. El plano del ecuador perteneciente a este polo norte $N$ se muestra como una línea horizontal en la figura. Refleje $P$ en el plano del ecuador para obtener $P'$, que es antipodal a $Q.

Si el bucle dado interseca el ecuador en un punto $E$ entonces $$d(P,E)+d(E,Q)=d(P',E)+d(E,Q)\geq d(P',Q)=\pi\ .\tag{1}$$ Por otro lado, $d(P,E)+d(E,Q)$ es como máximo igual a la mitad de la longitud del bucle, por lo tanto $<\pi$. Junto con $(1)$ tenemos una contradicción, por lo tanto tal punto $E$ no puede existir.