Límite de una secuencia de medias (tres variables)

Question

Dejemos que $a_0 = 0$ , $a_1 = 0$ , $a_2=1$ y para $n>2$ , $a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}}{3}$ . Considere $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n$ .

Usando un script de python encontré que $a_n$ tiende a $\frac{1}{2}$ como $n \to +\infty$ . Sin embargo, no sé cómo probar esto... He intentado el enfoque de este pregunta que hice aquí hace tiempo, pero no conseguí que funcionara nada parecido porque las diferencias entre términos se alteraban entre positivo y negativo de forma imprevisible (es decir, -+-++-++-+--+...) y el valor absoluto de las diferencias no siempre disminuía como $n$ aumentado ( $|a_7-a_8| < |a_8-a_9|$ ). (Fuente: el código python, que puedo incluir si eso ayuda...)

Otro enfoque que probé fue utilizar la inducción para tratar de demostrar el caso general de que si la primera $k$ términos $a_0,\cdots,a_{k-1}$ se dan cuando $a_0,\cdots,a_{k-2} = 0$ y $a_{k-1} = 1$ y para $n>k-1$ ,

$a_n = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^k a_{n-i}}{k}$

entonces que $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n = \dfrac{2}{k+1}$ (esto es sólo una suposición después de los primeros cinco o seis trimestres), pero tampoco hice ningún progreso allí.

¿Podría alguien ayudarme a orientarme en la dirección correcta? ¿Cómo puedo probar esto? (El $k=3$ caso es suficiente; demostrar el caso general era sólo una idea).

Answer 1

Hay una manera de resolver este problema, pero requiere tiempo y trabajo. La relación de recurrencia para esta secuencia es similar a la de la secuencia de Fibonnaci, en general, este tipo de secuencias tienen formas cerradas en términos de una suma de exponenciales de n.

Así es como se puede resolver el problema: por la linealidad de la relación de recurrencia, si $s_n$ es una secuencia que satisface la relación, entonces $ks_n$ también lo hace ( $k$ es cualquier valor). Si además, digamos $t_n$ satisface la relación, entonces la suma $$s_n+t_n $$ también lo hace. Por lo tanto, para encontrar la forma cerrada de la secuencia, debes encontrar tres secuencias distintas que satisfagan la relación de recurrencia. Entonces, tu secuencia es de la forma $$k_1 s_n + k_2t_n + k_3u_n $$ donde $s_n$ , $t_n$ y $u_n$ son las 3 secuencias que has encontrado.

Para encontrar las 3 secuencias, supongamos que son de forma exponencial: $$s_n= x^n $$ para alguna constante $x$ . Sustituyendo la relación de recurrencia y simplificando, nos queda:

$$3x³=x²+x+1 $$ Te dejo que resuelvas eso ( pista, una solución es fácil por inspección, luego factoriza la cúbica y resuelve la cuadrática final)

Verás que dos de las raíces son complejas y una es real. Entonces, encuentra tu $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ mencionado anteriormente sustituyendo los valores de $n=0,1,2$

Uf. ( Sé que es largo) Finalmente, toma el límite como $n \to \infty$ . Verás que dos de las exponenciales desaparecen (pista: ¿cuál es su módulo?) y la tercera es trivial. Eso hará que tu límite sea $\frac{1}{2}$ .

Answer 2

Utilice una suma telescópica para obtener $$3a_n+2a_{n-1}+a_{n-2}=3a_2+2a_1+a_0.$$ Ahora es fácil encontrar la respuesta, tomando $n\to\infty$ en la ecuación anterior: $${3\cdot 1+2\cdot0+1\cdot0\over3+2+1}=\frac12.$$ En realidad, primero tenemos que demostrar que $\lim_{n\to\infty}a_n$ existe.

Con este método, también se puede demostrar el caso general.