Demostración de algunas desigualdades de la norma

Question

Dejemos que $u \in H^{m}(U)$ y $W \subset\subset U$ es decir $W \subset \bar{W} \subset U$ con $\bar{W}$ es compacto en $U$ y $W$ está contenida de forma compacta en $U$ . ¿Es cierto que

$$||D^{\alpha}u||_{L^{2}(W)} \leq K. ||u||_{L^{2}(U)}$$ es válida para cualquier multiíndice $\alpha$ con $|a|\leq m$ y alguna constante $K$ ?
¡Muchas gracias!

Answer 1

Esto es demasiado bueno para ser verdad.

Supongamos que la desigualdad es válida para todo $\alpha$ con $|\alpha |\le m$ . Sea $g\in L^2(U)$ y $g|_W \notin H^m(W)$ Consideremos una secuencia $f_n\in C^\infty_0(U)$ para que $f_n \to g$ en $L^2(U)$ . Su desigualdad implica

$$\| f_n - f_m \|_{H^m (W)} \le K \|f_n - f_m\|_{L^2(U)}$$

y por lo tanto $\{f_n\}$ converge en $H^m(W)$ a alguna función, que debe ser $g|_W$ . Así, $g|_W$ está en $H^m(W)$ , lo cual es una contradicción.