Demuestra que el mapa tiene un punto fijo

Question

Supongamos que $K$ es un espacio métrico compacto con métrica $\rho$ y $A$ es un mapa de $K$ a $K$ tal que $\rho (Ax,Ay) < \rho(x,y)$ para $x\neq y$ . Demostrar que A tiene un único punto fijo en $K$ .

La singularidad es fácil. Mi problema es demostrar que existe un punto fijo. $K$ es compacta, por lo que toda secuencia tiene subsecuencia convergente. Construir una secuencia ${x_n}$ por $x_{n+1}=Ax_{n}$ , $\{x_n\}$ tiene una subsecuencia convergente $\{ x_{n_k}\}$ pero cómo demostrar que hay un punto fijo utilizando $\rho (Ax,Ay) < \rho(x,y)$ ?

Answer 1

Definir $f(x):=\rho(x,A(x))$ ; es un mapa continuo. (Nota $$\rho(x,Ax)\le\rho(x,y)+\rho(y,Ay)+\rho(Ay,Ax)\quad\forall x, y\in K$$ o $$\rho(x,Ax)-\rho(y,Ay)\le\rho(x,y)+\rho(Ax,Ay).$$ Invertir los papeles de $x,y$ para conseguir $$\left|\rho(x,Ax)-\rho(y,Ay)\right|\le\rho(x,y)+\rho(Ax,Ay)<2\delta \quad \text{ whenever }\rho(x,y)<\delta.$$ Eso es, $f$ es en realidad uniformemente continua).

Dejemos que $\alpha:=\inf_{x\in K}f(x)$ , entonces podemos encontrar $x_0\in K$ tal que $\alpha=f(x_0)$ ya que $K$ es compacto. Si $\alpha>0$ entonces $x_0\neq Ax_0$ y $\rho(A(Ax_0),Ax_0)<\rho(Ax_0,x_0)=\alpha$ , lo cual es una contradicción. Así que $\alpha=0$ y $x_0$ es un punto fijo. La suposición sobre $A$ lo hace único.

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Tenga en cuenta que la exhaustividad no sería suficiente en este caso, por ejemplo considere $\mathbb R$ con la métrica habitual, y $A(x):=\sqrt{x^2+1}$ . Es la mayor diferencia entre $\rho(Ax,Ay)<\rho(x,y)$ para $x\neq y$ y la existencia de $0<c<1$ tal que para todo $x,y,$ : $\rho(Ax,Ay)\leq c\rho(x,y)$ .

Answer 2

No tengo suficiente reputación para publicar un comentario que responda a la pregunta de @андрэ sobre en qué parte de la prueba se utiliza que $f$ es una función continua, así que publicaré mi respuesta aquí:

Ya que se nos dice que $K$ es un conjunto compacto. $f:K\rightarrow K$ al ser continua implica que la $\mathrm{im}(f) = f(K)$ también es un conjunto compacto. También sabemos que los conjuntos compactos son cerrados y acotados, lo que implica la existencia de $\inf_{x\in K} f(x)$ .

Si es posible demostrar que $f(K) \subseteq K$ es un conjunto cerrado, entonces también es necesariamente compacto: ¿Un subconjunto de un conjunto compacto es compacto? Sin embargo, no sé cómo se podría hacer en este caso sin depender de la continuidad de $f$ .

Answer 3

No es necesario demostrar la integridad ni definir ninguna secuencia. Definir una función real no negativa $$ h(x) = \rho(x,f(x) ) $$ Este es continuo, por lo que su mínimo se alcanza en algún momento $x_0.$ Si $h(x_0) >0,$ vemos que $$ h(f(x_0) ) = \rho( f(x_0), f(f(x_0 )) < \rho( x_0, f(x_0)) = h(x_0) $$ Juntos, $$ h(f(x_0) ) < h(x_0) $$ Por lo tanto, la suposición de un mínimo no nulo de $h$ lleva a una contradicción. Por lo tanto, el mínimo es en realidad $0,$ así que $h(x_0) = 0,$ así que $f(x_0) = x_0 $