Evaluar $ \int_{-2}^{1}\sqrt{\frac{\left ( 1-x \right )\left ( x+2 \right )^2}{x+3}}\,dx$

Question

Quiero evaluar la integral: $$\int_{-2}^{1}\sqrt{\frac{\left ( 1-x \right )\left ( x+2 \right )^2}{x+3}}\,dx$$

pero no tengo ni idea de cómo empezar para atacarlo.

Ni siquiera puedo dividir esa raíz porque de otra manera no tiene sentido. ¿Alguna pista sobre cómo empezar?

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Answer 1

Una pista:

Observe que $$\int_{-2}^{1}\sqrt{\frac{\left ( 1-x \right )\left ( x+2 \right )^2}{x+3}}\,dx = \int_{-2}^{1} (x+2)\sqrt{\frac{1-x}{x+3}}\,dx, \text{because $ x\geq -2 $}.$$

Tome $t^2 = \frac{1-x}{x+3} \implies x= \frac{1-3t^2}{t^2+1}\implies dx = \frac{-8t}{(t^2+1)^2}\,dt.$

Por lo tanto,

$$\int_{-2}^{1}\sqrt{\frac{\left ( 1-x \right )\left ( x+2 \right )^2}{x+3}}\,dx = 8\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{(3-t^2)t^2}{(t^2+1)^3}\,dt.$$

Ahora, dejemos que $f(t) = t^3$ y $g(t) = (t^2+1)^2$ . Observe que $$\frac{(3-t^2)t^2}{(t^2+1)^3} = \frac{f'(t)g(t) - f(t)g'(t)}{g(t)^2}.$$

¡Creo que ya puedes terminar!