Convergencia casi segura de la suma de variables aleatorias

Question

Supongamos que $X_i$ son variables aleatorias mutuamente independientes tales que $P(X_n=n^2-1)=1-P(X_n=-1)=n^{-2}$ para $n=1,2,3,...$ . Demostrar que $E(X_n)=0$ para todo n, mientras que $n^{-1}\sum\limits_{i=1}^n X_i\rightarrow -1$ a.s. para $n\rightarrow \infty$ .

he terminado de probar $E(X_n)=0$ pero no tienen idea de cómo abordarlo. Cualquier tipo de ayuda será apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Para mostrar $E(X_n)=0$ comprobar que $X_n=(-1)\chi_{X_n=-1}+(n^2-1)\chi_{X_n=n^2-1}$ para todos $n$ y por lo tanto $E(X_n)=(-1)P(X_n=-1)+(n^2-1)P(X_n=n^2-1)=(-1)(1-\frac{1}{n^2})+(n^2-1)\frac{1}{n^2}=0$

Answer 2

Para la segunda parte del resultado: utilice los lemas de Borel-Cantelli para demostrar que con probabilidad 1, $X_n = -1$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ . Entonces, utiliza este hecho para demostrar que $\overline {X_n}$ converge a $-1$ casi seguro.