Esta pregunta es muy antigua, pero de todos modos escribiré una respuesta para que sirva de referencia a los futuros lectores.
El análisis funcional es, en cierto sentido, el análogo "bueno" del álgebra lineal de dimensiones infinitas que necesitas para hacer análisis. En concreto, si se estudia el análisis funcional, se enfrentará principalmente a varios espacios de funciones sobre algunos espacios topológicos (clásicamente, subconjuntos abiertos de $\mathbb{R}^n$ ).
Para poder estudiar el análisis funcional, es necesario tener conocimientos de
- Álgebra lineal Aunque quizá no sea tan fundamental para la asignatura, es muy importante tener unas bases sólidas de álgebra lineal para entender la intuición que hay detrás de muchos objetos y pruebas.
- Análisis (real) : se estudiarán espacios de funciones con diversas propiedades. En particular, tendrá que estar familiarizado con los conceptos de continuidad, diferenciabilidad, suavidad, integración y, quizá lo más importante, con las secuencias de Cauchy y la convergencia de secuencias y series.
- Topología básica El objetivo de este curso es el de trabajar en espacios métricos, por lo que se aconseja tener algunas nociones básicas de topología.
Además, si quieres profundizar en el estudio de la asignatura, necesitarás muchos más conocimientos de otras materias, como la geometría diferencial (si quieres hacer EDP sobre variedades) y otras.
En cuanto a las referencias:
- Personalmente, aprendí el análisis funcional en estos notas de clase de M. Struwe (aunque están en alemán).
- Otra referencia interesante es estas notas de Einsiedler y Ward (no los he leído, pero me han dicho que son muy buenos; sin embargo, también he oído que van en algunas direcciones y aplicaciones "no estándar").
- Por último, si eres más de PDEs, El libro de Evans es un clásico que debes leer.
