Prueba de la multiplicación de matrices

Question

En Álgebra lineal bien hecha , presenta varias formas de ver la multiplicación de matrices que no entiendo.

Supongamos que $v_1,...,v_n$ es una base de $V$ , $w_1,...,w_m$ es una base de $W$ , $u_1,...,u_p$ es una base de $U$ .

Supongamos que $T: U \to V$ , $S:V \to W$ y $M(S) = A$ , $M(T) = C$ . Para $1 \leq K \leq p$ tenemos

\begin{equation} \begin{split} (ST)u_k &= S(\sum_{r=1}^{n}C_{r,k}v_r) \text{ This is Matrix times column?}\\ &= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}Sv_r\\ &= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j \text{ This is linear combination of columns?} \\ &= \sum_{j=1}^{m}\sum_{r=1}^{n}(A_{j,r}C_{r,k})w_j \text{ I don't know how to get from the previous step to this step} \end{split} \end{equation}

Answer 1

Es importante que entiendas cómo $M(S)$ y $M(T)$ se definen. También hay que tener en cuenta que tu notación no tiene en cuenta las bases subyacentes; ¡no son matrices estándar!

Por ejemplo, $M(T)$ se determina por la regla de que, su $k$ es el vector columna de coordenadas de $Tu_k$ con respecto a la base $v_1, \ldots, w_n$ . Es decir, $$Tu_k = \sum_{r=1}^n C_{r, k} v_r;$$ este es sólo el proceso estándar para recuperar $Tu_k$ a partir de su vector de coordenadas en el $k$ columna de $C$ .

En realidad no se trata de una "matriz por columna", ya que $v_r$ puede no ser un vector de columnas. Es un elemento de $V$ que puede o no ser igual a $\Bbb{R}^n$ . Puede ser que $v_r$ es un polinomio, o algún otro vector abstracto. Como he dicho, esto es sólo la recuperación de un vector de su vector de coordenadas.

Lo mismo ocurre con el siguiente punto. Tenemos $$Sv_r = \sum_{j=1}^m A_{j,r} w_j$$ por exactamente el mismo razonamiento.

Los últimos pasos son la ley distributiva para sacar una constante en una suma: $$\sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j = \sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$$ y luego reordenar el orden de la suma utilizando la asociatividad y la conmutatividad, $$\sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j = \sum_{j=1}^{m} \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$$ y finalmente utilizando la conmutatividad del campo escalar para cambiar el orden de $C_{r, k}$ y $A_{j, r}$ .