La correspondencia Chern-Simons/Wess-Zumino-Witten

Question

A menudo he visto que se alude a una relación entre estas dos teorías, pero no puedo encontrar ninguna literatura que pruebe/derive/explique esta relación.

Supongo que en la literatura de la física de la materia condensada esto es lo "mismo" a lo que se refiere cuando se dice que uno tiene bosones quirales que se propagan en la frontera del colector si hay una teoría de Chern-Simons definida en el interior ("bulk")

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Permítanme citar (con algunas modificaciones explicativas) de dos documentos dos aspectos más importantes de la relación a la que se alude,

1. "...Es bien sabido que cualquier teoría de Chern-Simons admite una frontera que lleva un modelo WZW quiral; sin embargo estos grados de libertad no son topológicos (la función de partición de la teoría de Chern-Simons acoplada a tales grados de libertad de la frontera depende de la clase conforme de la métrica en la frontera)..."

2. "...En general si la teoría pura de Chern-Simons (de grupo $G$ ) en el nivel k está formulado en una furgo de Riemann, entonces el número de estados de energía cero es igual al número de bloques conformes del modelo WZW de $G$ en el nivel $k' = k - \frac{h}{2}$ ( $h=$ el Casimir cuadrático de G en la representación adjunta)..(y cuando la superficie de Riemann es un toro) el número de bloques conformes es igual al número de representaciones de $\hat{G}$ en el nivel $k'$ .."

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• Me gustaría conocer una(s) referencia(s) (¡ojalá pedagógica(s)/introductiva(s)!) que explique(n)/pruebe(n)/derive las dos afirmaciones anteriores. ( He mirado varias secciones del libro de Toshitake Kohno sobre CFT que trata de cosas similares, pero no pude identificarlas allí ¡puede ser que alguien pueda indicarme la sección en ese libro que puede explicar las afirmaciones anteriores, pero puede estar en algún ropaje diferente que no puedo reconocer!)

Answer 1

Las teorías cuánticas de campos se entienden/formalizan a varios niveles de detalle (por ejemplo, sólo el funcional de acción, sólo el espacio de estados/función de partición, QFT functorial completa, QFT extendida completa). En consecuencia, existen estos diferentes niveles en los que la gente dirá "Es bien sabido que...".

Para el general principio holográfico todavía hay muchas lagunas, pero para el caso especial de 3dChern-Simons-TQFT/2dWZW-CFT las cosas se entienden bastante bien.

La entrada de nLab

Principio holográfico -- Teoría de Chern-Simons ordinaria / Modelo WZW

da una lista de indicaciones, algunas de las cuales coinciden con lo que se dice en otras respuestas aquí.

En primer lugar, existe una relación directa entre los funcionales de acción: el funcional de acción de CS en una variedad con frontera no es invariante de gauge. El término de frontera que aparece es el funcional de acción del modelo WZW (el término topológico, al menos, y el término cinético con el debido ajuste fino).

Más abstractamente, la acción de Chern-Simons para $G$ simplemente conectado surge por transgresión de un mapa característico universal diferencial en pilas de moduli lisas superiores $\mathbf{B}G_{conn} \to \mathbf{B}^3 U(1)_{conn}$ . La acción de WZW (el término topológico) surge de forma similar simplemente por el bucle (diferencialmente retorcido) (como suave $\infty$ -stacks) de este mapa.

A continuación, la famosa observación original: la cuantización geométrica de este funcional de acción da lugar a un espacio de estados para la teoría de Chern-Simons que puede identificarse naturalmente con la función de partición del modelo de WZW.

Para llevar esto más allá, a una relación entre QFTs ful, uno necesita saber cuál es la QFT completa correspondiente a la teoría de Chern-Simons. Esto aún no se ha establecido completamente a través de la cuantificación, pero la expectativa es que es lo que da la construcción de Reshetikhin-Turaev cuando se alimenta la categoría tensorial modular de las representaciones del grupo de bucles del grupo gauge. Suponiendo esto, existe una construcción muy detallada por parte de Fuchs-Runkel-Schweigert y otros que construye efectivamente la CFT racional de WZW (como una CFT completa de estilo Segal) a partir de la TQFT.

Recientemente, el aspecto holográfico de esta construcción ha sido ampliado por Kapustin-Saulina y luego por Fuchs-Schweigert-Valentino.

Ver en el enlace anterior para las referencias a todos estos elementos.

Answer 2

El límite de una teoría de Chern-Simons lleva un modelo de Wess-Zumino-Witten...

Esto se deriva de la siguiente relación entre los parámetros de las dos teorías. Recordemos que una teoría de Chern-Simons está determinada por un elemento $$\xi \in \hat H^4(BG,\mathbb{Z}),$$ un elemento en la cohomología diferencial de grado cuatro del espacio clasificador del grupo gauge. A menudo $\xi$ puede identificarse con un elemento de la cohomología ordinaria, y a su vez con un simple número entero, llamado nivel . Recordemos que un modelo de Wess-Zumino-Witten está determinado por un elemento $$ \eta \in \hat H^3(G,\mathbb{Z}). $$ Ahora, hay un mapa de transgresión $$ t: \hat H^4(BG,\mathbb{Z}) \to \hat H^3(G,\mathbb{Z}) $$ que convierte una teoría de Chern-Simons en un modelo WZW.

Esto se discute (usando gerbos de paquetes) en

• A. Carey y otros: Bundle gerbes para teorías de chern-simons y wess-zumino-witten

Los estados de la teoría CS forman los bloques conformes del modelo WZW...

Este es un resultado de Witten, un ingrediente crucial para la relación entre la teoría de Chern-Simons y el polinomio de Jones. Puede que quieras empezar en la sección 5 de

• E. Witten: Quantum Field Theory and the Jones Polynomial, Commun. Math. Phys. 121,351-399 (1989)

Otra fuente con información general sobre los estados de Chern-Simons es la sección 5 de

• K. Gawedzki: Teoría de campos conformes: Un estudio de caso

La información clave es la fórmula (5.15) de este último documento. Expresa la función de partición del modelo WZW (acoplado a un campo gauge, y con inserciones de campo) mediante productos escalares de estados CS. La siguiente fórmula (5.16) tiene (5.15) reducido al toro, relacionándolo con representaciones de $G$ .

Answer 3

El documento inmediato que me viene a la mente es Teorías topológicas de galgas y cohomología de grupos de Dijkgraaf y Witten, a partir de la página 403. El término Wess-Zumino aparece porque el funcional de Chern-Simons no es invariante gauge, y la variación de esta acción depende de la conexión en la superficie límite. Este artículo hace referencia a la obra de Witten Bosonización no abeliana en dos dimensiones al hablar del modelo WZW y de la CFT, por lo que creo que sería útil comprobarlo.

En cuanto al segundo comentario, en la página 411-413 aparece lo del bloque conformado, pero no estoy seguro de que explique lo que quieres. Sí tiene referencias:
1) Álgebras quirales extendidas y funciones de partición modulares invariantes (Karpilovsky, et.al.)
2) Espectros de modelos WZW con grupos simples arbitrarios (Felder, et.al.)
3) Domando el zoo conformado (Moore, Seiberg)
Esperemos que uno de ellos te lleve a lo que deseas.

Answer 4

Es poco probable que encuentre una prueba de estas afirmaciones, porque la teoría de Chern-Simons, como teoría cuántica de campos en 3 dimensiones, no ha sido formulada matemáticamente con precisión.

Puede encontrar algunos resultados parciales en el libro Bakalov, Kirillov, Conferencias sobre categorías tensoriales y funtores modulares .

Answer 5

Hay una perspectiva más sobre la relación entre $G$ -Teoría de Chern-Simons y el modelo WZW en $G$ el campo B de fondo de este último puede considerarse como el círculo precuántico 2-bundle en codimensión 2 para una "cuantización geométrica superior/extendida" de la teoría de Chern-Simons.

Esto se explica un poco en

nLab:Teoría de Chern-Simons -- Cuantificación geométrica -- En codimensión superior .

En resumen, la historia es la siguiente:

Hemos construido en Cociclos de Cech para clases características diferenciales un refinamiento del generador de $H^4(B G, \mathbb{Z})$ a un morfismo de módulos lisos $\infty$ -pilas $\mathbf{c}_c : \mathbf{B}G_c \to \mathbf{B}^3 U(1)_c$ de la de $G$ -haces principales con conexión a la del círculo 3-haces (haz 2-gerbes) con conexión

(para $G$ un grupo de Lie simple y simplemente conectado).

Esto es tal que cuando se transgrede a la cartografía $\infty$ -pila de un colector cerrado compacto orientado en 3d $\Sigma_3$ se obtiene el funcional de acción de Chern-Simons

$$ \exp(2 \pi i \int_{\Sigma_3} [\Sigma_3, \mathbf{c}_{conn}]) : CSFields(\Sigma_3) = [\Sigma_3, \mathbf{B}G_{conn}] \to U(1) \,. $$

Pero también se puede transgredir para mapear pilas fuera de un $0 \leq k \leq 3$ -de las dimensiones de la colmena $\Sigma_k$ . Para $k = 1$ con $\Sigma_1 = S^1$ se obtiene un haz de 2 círculos canónico (haz de círculos gerbe) con conexión en la pila de moduli lisa de $G$ -conexiones principales en el círculo

$$ \exp(2 \pi i \int_{S^1} [S^1, \mathbf{c}_{conn}]) : [\Sigma_1, \mathbf{B}G_{conn}] \to \mathbf{B}^2 U(1) \,. $$

Ahora bien, como $\mathbf{B}$ es el "delooping categórico" mientras que $[S^1, -]$ es el "bucle geométrico", la pila de mapeo de la izquierda si no es del todo equivalente a $G$ pero recibe un mapa canónico de él

$$ \bar \nabla_{can} : G \to [S^1, \mathbf{B}G_{conn}] \,. $$

De hecho, el adjunto hom interno de este mapa es una canónica $G$ -conexión principal $\nabla_{can}$ en $S^1 \times G$ Y esto es precisamente lo que se desprende de la definición 3.3 del artículo de Carey et al que Konrad menciona en su respuesta.

Así que el compuesto

$G \to [S^1, \mathbf{B}G_{conn}] \stackrel{transgression}{\to} \mathbf{B}^2 U(1)_{conn}$

es el conjunto de 2 círculos de WZW en $G$ o, lo que es lo mismo, el conjunto de 2 círculos precuánticos de Chern-Simons en codimensión 2.

(El analizador matemático aquí se confunde cuando escribo las fórmulas completas. Pero puedes encontrarlas en el enlace anterior ).