Que $K(x, t): \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ sea una función medible no negativa. Demostrar lo siguiente.

Question

Por favor, dame una pista, no toda la solución:

El Problema: Sea $K(x,t):\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ una función medible no negativa tal que $$F(x) = \int\limits_{\mathbb{R}} K(x,t)dt \in L(\mathbb{R})$$

• (a) Para $f \in L(\mathbb{R})$ muestra que $$g(x) = \int\limits_{\mathbb{R}}K(x,t)f(t)dt$$ es medible y $g \in L(\mathbb{R}).$

Lo que he hecho:

Dado que $F(x)\in L^{1}(\mathbb{R})$ entonces

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}F(x)dx<\infty \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}}\vert \int K(x,t)dt \vert dx<\infty$$

pero $K(x,t)\in \mathbb{R}^{+} $ entonces

$$ \Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} \int K(x,t)dt dx<\infty\Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}} (\int K(x,t)dx) dt<\infty$$

Dado que $\int K(x,t)dx>0$ podemos concluir que $\int K(x,t)dx<\infty.$

Ahora queremos demostrar que $g(x)\in L^{1}(\mathbb{R})$ entonces sabemos que $\vert K(x,t)f(t)\vert$ es medible así que puedo usar el teorema de Fubini entonces

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}\vert \int K(x,t)f(t)dt \vert dx\leq \int\limits_{\mathbb{R}} \int K(x,t)\vert f(t)\vert dt dx \\= \int\int K(x,t)\vert f(t)\vert dx dt= \int\int K(x,t)\vert f(t)\vert dx dt\leq M\int K(x,t)dx $$ donde $\int\vert K(x,y)\vert dt

• (b) Calcula $$\sup\limits_{\Vert f\Vert_{1}\leq 1} \int\limits_{\mathbb{R}^{2}} K(x,t) \vert f(t)\vert dx\, dt. $$

Lo que he hecho: $$\sup\limits_{\Vert f\Vert\leq 1} \int\limits_{\mathbb{R}^{2}} K(x,t) \vert f(t)\vert dx\, dt\leq \sup\limits_{\Vert f\Vert\leq 1} \int\limits_{\mathbb{R}}\vert f(t)\vert\int K(x,t) dx\, dt=\int K(x,t)dx< +\infty$$

• (c) Evalúa $$ \lim\limits_{x\to \infty} \int_{\mathbb{R}} K(x,t)f(t)dt$$ donde $f \in L(\mathbb{R}).

Para esta parte, no pude hacer nada.

Answer 1

(a) La conclusión aquí es falsa. Prueba: Sea $K(x,t) = t^{-1/2}\chi_{(0,1)^2}(x,t).$ Entonces $F(x) = 2\chi_{(0,1)}(x),$ por lo que $F\in L^1.$ Pero si dejamos $f(t) = t^{-1/2}\chi_{(0,1)}(t),$ entonces $f\in L^1,$ pero $g(x) = \infty$ para $x\in (0,1).$ Por lo tanto, $g\notin L^1.

(b) El ejemplo que di en (a) muestra que el supremo aquí puede ser $\infty.$ Cometiste un error en el último paso de "Lo que he hecho".

(c) Hay funciones $g\in L^1(\mathbb R)$ tal que $\lim_{x\to \infty} g(x)$ no existe; de hecho, el comportamiento de $g$ puede ser bastante salvaje en $\infty.ʺ Escoge un $g$ así. Luego define

$$K(x,t) = \frac{g(x)}{1+t^2}, \,\, f(t) = \frac{1}{1+t^2}.$$

Entonces

$$\tag 1 \int_{\mathbb R} K(x,t)f(t)\,dt = g(x)\int_{\mathbb R} \frac{1}{(1+t^2)^2}\,dt.$$

Dado que $\lim_{x\to \infty} g(x)$ no existe, el límite en $(1)$ tampoco existe.

Una pregunta para ti: ¿Estás seguro de que este problema está formulado correctamente? ¿De dónde es? No parece correcto. En cualquier caso, he respondido las preguntas tal como están formuladas.