Acabo de tener esta pregunta en los exámenes. Lo he intentado de muchas maneras pero no lo he conseguido. ¿Puede alguien ayudarme?
Gracias de antemano.
Respuesta
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La respuesta más sencilla podría utilizar la sustitución $t=\tanh x \Rightarrow \cosh^2 x=\frac{1}{1-t^2}; dx=\frac{dt}{1-t^2}\Rightarrow$ $$ \int\frac{dx}{\cosh^2x}=\int dt= t+C=\tanh x +C. $$
Sin embargo, mediante una lectura cuidadosa se observa que la derivación sólo sustituye al conocimiento previo de la derivada de $\tanh x$ con un conocimiento previo equivalente de la derivada de ${\rm arctanh}\, x$ .
Por lo tanto, es preferible elegir otra forma que utilice sólo las derivadas de las funciones logarítmicas y de potencia: $$ \int\frac{dx}{\cosh^2x}=\int\frac{4dx}{(e^x+e^{-x})^2}\stackrel{e^x\mapsto u}= \int\frac{4}{(u+u^{-1})^2}\frac{du}{u}=\int\frac{4udu}{(u^2+1)^2}\\ =-\frac{2}{u^2+1}+(1+C)=\frac{u^2-1}{u^2+1}+C=\frac{u-u^{-1}}{u+u^{-1}}+C \stackrel{u\mapsto e^x}=\tanh x +C. $$
