Utiliza el Teorema de Clairaut para encontrar una forma eficiente de resolver $f_{yyzzx}$ .

Question

Acabo de hacer una pregunta similar, pero ¿hay alguna otra forma de que el $f_{yyzzx}$ se podría reordenar para obtener un número distinto de $0$ ¿al final? Cuando $x^2\sin(4y)+z^3(6x-y)+y^4$ .

Tengo $f_y=4x^2\cos(4y)-z^3+4y^3$ entonces $f_{yy}=-16x^2\sin(4y)+12y^2$

Answer 1

El teorema simplemente dice que el pedir de tomar las derivadas parciales no importa en este caso.

Recordemos que la toma de derivadas parciales es una operación lineal. Por ejemplo: $$ (u+v)_z=u_z+v_z\;. $$

Porque estás tomando la derivada wrt $z$ dos veces, por lo que el primer y el tercer término de $f$ se irá. Así que sólo hay que considerar el término $$ z^3(6x-y)=6z^3x-z^3y\;. $$

Pero usted está diferenciando $y$ dos veces, por lo que sólo hay que tener en cuenta $6z^3x$ . Ahora, tu turno.

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En resumen, escriba $$ f = u+v+w,\quad f_{yyzzx} = (u_{zz})_{yyx}+(v)_{yyzzx}+(w_{zz})_{yyx} $$ y observe que $$ u_{zz}=w_{zz}=0 $$

Answer 2

Dejemos que $f(x,y,z,w) = x^2 \sin(4y) + z^3(6x-y)+y^4$ . Desde $x$ , $y$ , $z$ y $w$ son funciones continuas y las sumas, diferencias, productos, cosenos y senos de funciones continuas son continuos, $f$ es continua y todas sus (múltiples) derivadas son continuas. Por lo tanto, el teorema de Clairaut nos permite reordenar libremente las derivadas parciales especificadas sin cambiar el valor del resultado.

Sólo el término medio contiene un " $z$ ", por lo que $f_z$ contiene sólo un término, $3z^2(6x-y)$ . Diferenciando que por $x$ o $y$ deja un tiempo constante $z^2$ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x} 3z^2(6x-y) &= 18z^2 \text{ and } \\ \frac{\partial}{\partial y} 3z^2(6x-y) &= -3z^2 \text{.} \end{align*} A partir de cualquiera de ellos, diferenciando parcialmente con respecto a $y$ vuelve a salir $0$ .

Así que, o bien $f_{zxy} = 0$ o $f_{zyy} = 0$ La derivada parcial adicional sigue siendo cero, y el teorema de Clauraut nos dice que las derivadas reordenadas tienen el mismo valor, por lo que la derivada parcial solicitada de $f$ es cero.

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Una forma diferente de pensar en ello. Con $f$ dado y tras observar que podemos reordenar las derivadas como queramos, examinamos los términos de $f$ . El primer término no tiene $z$ en él y tampoco el tercero. Si $z$ aparece en la lista de variables con respecto a las cuales vamos a diferenciar, estos términos desaparecerán antes de que terminemos. " $z$ " sí aparece en la lista, por lo que estos términos no contribuyen al resultado. El término medio es lineal en $x$ y $y$ Así que si $x$ aparece dos veces o $y$ aparece dos veces en la lista de variables con respecto a las cuales vamos a diferenciar, ese término desaparecerá antes de que terminemos. " $y$ " sí aparece dos veces en la lista, por lo que este término tampoco contribuye al resultado. De esta manera, hemos demostrado que cada término se envía a cero antes de terminar de tomar la derivada parcial especificada.