Cómo demostrar que $ \int_0^{\infty } \frac{\psi ^{(0)}(z+1)+\gamma }{z^{15/8}} \, dz = \frac{2 \pi}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \zeta(\frac{15}{8}) $ ?

Question

Esta integral es de un ejercicio de un viejo libro de cálculo de Edwards de los años 20.

El $\psi$ es la función Digamma y el $\zeta$ es la función Zeta de Riemann. ¿Cómo se puede demostrar esto? ¿Requiere esto sólo una sustitución básica? Gracias por su tiempo.

Mathematica muestra que los valores son equivalentes y se trata de $14.611879190740$

Answer 1

Tener cuidado con la rama de $z^{15/8}$ mira $$(e^{2i\pi 15/8}-1) \int_0^{\infty } \frac{\psi(x+1)+\gamma }{x^{15/8}}dx=\int_C \frac{\psi(z+1)+\gamma }{z^{15/8}}dz$$ donde $C$ es un contorno $+\infty\to -\epsilon\to +\infty$ adjuntando $[0,\infty)$ y luego aplicar el teorema del residuo añadiendo un círculo infinito al contorno para que encierre la región $\Bbb{C}-[0,\infty)$ .

El $\sqrt{2-\sqrt2}$ viene de $\sin(\pi 15/8)$ .