¿Qué significa cuando se coloca dx al comienzo en una integral?

Question

He visto algo así antes: $\int \frac{dx}{(e+1)^2}$. Aparentemente, esta es otra forma de escribir $\int \frac{1}{(e+1)^2}dx$.

Sin embargo, considerando esta afirmación: $\int\frac{du}{(u-1)u^2} = \int du(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2})$. En el lado izquierdo, se mueve $du$. Si tuviera que evaluar una integral que está escrita de esta manera, ¿cómo la expandiría en la forma habitual $\int f(x)dx$?

(De los comentarios) ¿Es realmente un producto y si no, por qué es conmutativo?

Answer 1

La notación $\int f(x)\, dx$ y $\int dx \; f(x)$ significan exactamente lo mismo.

Answer 2

Otros han explicado la sintaxis y semántica de esta notación, pero parece que nadie ha abordado por qué es bueno hacerlo...

La notación "$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}$" se utiliza para el operador de derivación (un dispositivo que toma funciones como entrada y produce funciones como salida). Este es el "operador de derivada con respecto a $u$". Usos típicos: $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}&(x^2) = 2x \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}&\,x^2 = 2x \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}&\,f(x) = f'(x) \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}&\,f(u) = 0 \\ \dfrac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}x}& = 2x \text{.} \end{align}$$ Excepto por el último ejemplo de uso, estos se leen de izquierda a derecha como "la derivada con respecto a $x$ de...". (Esto es desafortunado porque la última forma es la que más claramente hace eco de un cociente diferencial). Entonces sabes desde el principio cuál variable está siendo variada. Esto tiene la desventaja de no indicar de manera inequívoca dónde termina el argumento del operador (pero solo en la segunda, tercera y cuarta formas, desafortunadamente las más comunes, arriba).

La notación "$\int \mathrm{d}u$" se utiliza para el operador de antidiferenciación. (Y se utiliza la extensión obvia para la operación de integración). Este es el "operador de antiderivada con respecto a $u$". Usos típicos: $$\begin{align} \int \mathrm{d}x (2x) = x^2 + C \\ \int \mathrm{d}x 2x = x^2 + C \\ \int 2x \,\mathrm{d}x = x^2 + C \text{.} \end{align}$$

Se aplican comentarios similares a los anteriores: Excepto por el último ejemplo de uso, estos se leen como "la antiderivada con respecto a $x$ de...". Es decir, sabes cuál variable es la variable de integración antes de ver parte del argumento del operador. La segunda forma tiene el mismo defecto que la forma más común de diferenciación: no está claro dónde termina el argumento del operador. La última forma inserta el argumento en medio del operador, por lo que se recita el argumento completo antes de saber qué operador está actuando sobre él, pero tiene la ventaja de hacer eco de la forma de la suma de Riemann (más relevante para integrales que para antiderivadas) e indicar dónde termina el argumento.

También verás esta notación en integrales dobles. Cuando se utiliza esta notación, es para recordar al lector que las integrales son iteradas: $\int_a^b \mathrm{d}x \, \int_c^d \mathrm{d}y \ x + y^2$ indica que se pasa $x+y^2$ a través de la operación "integra con respecto a $y$ en $[c,d]$" antes de pasar el resultado a través de la operación "integra con respecto a $x$ en $[a,b]". (Note que la cerradura y apertura de los extremos de esos intervalos es irrelevante). Esto puede parecer pedante hasta que se aprende que el valor de una integral iterada puede depender del orden en que se tomen las integrales y el operador "$\int \int \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$" solo está definido si no importa en qué orden ocurre la integración

Además, para antiderivadas iteradas, el orden importa seriamente, como se pone de manifiesto al resolver EDPs: $$\begin{align} \int \mathrm{d}x &\int \mathrm{d}y (x+y^2) \\ &= \int \mathrm{d}x (xy + \frac{y^3}{3} + C_1(x)) \\ &= \frac{x^2 y}{2} + \frac{x y^3}{3} + C_2(y) + \int \mathrm{d}x(C_1(x)) \text{,} \end{align}$$ donde $C_1(x)$ y $C_2(y)$ son funciones arbitrarias de $x$ e $y$, respectivamente. ($C_1$ entra porque $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \left( x y + \frac{y^3}{3} + C_1(x) \right) = x+y^2 + 0 = x+y^2 \text{.}$$ $C_2$ es una función arbitraria de $y por la razón análoga.) Sin embargo, si revertimos el orden de la antidiferenciación, la función integrada restante depende solo de$y, no de $x. Dado que no toda función arbitraria es integrable, los dos conjuntos de soluciones resultantes no necesariamente serán los mismos. El orden importa seriamente.

Answer 3

Primero, note que $$\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}=\frac{1}{u-1}-\frac{u+1}{u^{2}}=\frac{1}{\left(u-1\right)u^{2}}$$ a partir de lo cual se sigue la igualdad: $$\int du \left(\frac{1}{\left(u-1\right)u^2}\right)=\int du\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\right).$$ Note que $\int fdu$ y $\int du f$ significan lo mismo.

Answer 4

Mientras que, como han señalado otras respuestas, algunos autores escriben el diferencial (el $du$) junto al signo de integral, recomendaría evitarlo. Es poco común, lo que significa que muchas personas que lo vean tendrán la misma confusión que tú. Pero además, tener el diferencial al final de una integral es una conveniencia notacional, ya que muestra el final de la expresión del integrando. Esto es útil, ya que la notación integral no tiene inherentemente un delimitador de cierre, aparte del diferencial.

Por ejemplo, uno fácilmente podría confundir

$$\int du\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right)$$

como

$$\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right)\int 1\, du,$$

lo cual es una expresión completamente diferente. Al escribir

$$\int\left(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\right)\,du$$

es claro cuál es el integrando. De hecho, incluso si se omiten los paréntesis también es claro:

$$\int\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}\,du$$

La excepción es que para integrandos que son una fracción con numerador 1, a menudo se escriben como $$\int\frac{dx}{f(x)}$$ en lugar de $$\int\frac{1}{f(x)}\,dx,$$ ya que el primero es más compacto, y la barra de fracción delimita la totalidad de la expresión integral.

Answer 5

Esta es simplemente otra forma de escribir $\int \frac{1}{(u-1)u^2} \, du$.