Introducción a los espinores en física, y su relación con las representaciones

Question

En primer lugar, diré que estoy familiarizado con la idea intuitiva de que un espinor es como un vector (o tensor) que sólo se transforma "hasta un signo" cuando se actúa sobre el grupo de rotación. Incluso he hecho girar un plato en la palma de mi mano para explicarle esto a mi prometida. También he mirado los espinores como objetos matemáticos, como el subespacio 2d del espacio 3 complejo tal que $X·X = 0$ y siento que también lo entiendo bien.

Estoy confundido con los espinores en la física. ¿Siguen siendo vectores isótropos (el producto interior consigo mismo es 0)? ¿En qué espacio vectorial? Normalmente los estados son vectores en espacios de dimensión infinita. Todos los intentos de encontrar literatura que precise lo que es un espinor (en términos físicos) parecen asumir que uno ya está bien familiarizado con la idea.

Tomemos, por ejemplo, la ecuación de Dirac. Veo que las soluciones son funciones de onda de cuatro componentes, que luego se dividen en dos partes. ¿Es esto un espinor? ¿Por qué? ¿En qué espacio vectorial viven estas soluciones? Creo haber oído que la respuesta tiene algo que ver con la teoría de la representación, ¿tal vez del grupo de Poincare? Yo también estoy familiarizado con los fundamentos allí, así que no dudes en explicarlo en términos de representaciones.

Answer 1

A riesgo de decirte cómo "chupar huevos" (tu nivel en estas cosas no está del todo claro), ahí va.

Ingredientes:

Los ingredientes esenciales de esta explicación son:

1. Un "sistema" físico que evoluciona en y cuyos "eventos" ocurren en algún espacio $\mathcal{U}$ (el espacio euclidiano ordinario o el espacio-tiempo de Minkowsky, por ejemplo); en física, este espacio es siempre un espacio lineal (por supuesto es el espacio-tiempo de Minkowsky) en el que ocurren cosas: llamémosle $\mathcal{U}$ la "escena" en la que ocurren las cosas de las que queremos hablar;

2. Un grupo de Lie conectado $\mathfrak{G}$ que representa las transformaciones de coordenadas que puede sufrir un sistema: en física son todas transformaciones lineales $\mathcal{U}\to\mathcal{U}$ de la escena $\mathcal{U}$ . Wontedly en física, $\mathfrak{G} = SO^+(1,3)$ (el componente conexo de identidad del grupo de Lorentz que comprende todas las rotaciones y aumentos del "espacio físico", a veces llamado "grupo de Lorentz propio y ortocrono" (propio = determinante unimodular =1, es decir, "no invierte el espacio" y ortocrono = no cambia la dirección del tiempo) o el grupo de Poincaré;

3. Una cubierta de $\mathfrak{G}$ esto es casi siempre (nunca he visto que no sea así) la cubierta universal $\tilde{\mathfrak{G}}$ de $\mathfrak{G}$ como se explica en mi artículo "Lie Group Homotopy and Global Topology" en mi sitio web aquí ;

4. Un espacio vectorial $\mathcal{V}$ que puede ser, por ejemplo, un espacio de estados cuántico, posiblemente de dimensión infinita y su grupo $GL(\mathcal{V})$ de endomorfismos lineales, es decir mapas lineales bijetivos $\phi:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ . De manera informal, $GL(\mathcal{V})$ es el grupo de matrices invertibles que actúan sobre $\mathcal{V}$ . Lo más importante: este espacio es diferentes de la "escena" física $\mathcal{U}$ . La escena es $\mathcal{U}$ el espacio-tiempo que nos rodea, el espacio de estado $\mathcal{V}$ es un espacio de Hilbert de estados cuánticos. Y, en realidad, aunque hablemos de un espacio de estados "lineal" $\mathcal{V}$ somos un poco chapuceros: seguro que todos los estados cuánticos son superposiciones lineales de la base de $\mathcal{V}$ pero siempre son de magnitud unitaria: las probabilidades de que una medición "colapse" el estado en uno de los vectores base deben sumar todas a uno: "tenemos que acabar en algún estado". Así que, si somos precisos, tenemos en cuenta que en realidad estamos hablando de la esfera de la unidad en $\mathcal{V}$ como el estado de los estados cuánticos. Este espacio de estados tiene un carácter muy diferente al del espaciotiempo, en el que no existe la obligación de que las 4 posiciones de los eventos sean de magnitud unitaria;

5. Representaciones $\rho : \mathfrak{G}\to GL(\mathcal{V})$ , $\tilde{\rho}:\tilde{\mathfrak{G}}\to GL(\mathcal{V})$ de ambos $\mathfrak{G}$ y su portada $\tilde{\mathfrak{G}}$ respectivamente. Recordemos que a representación de un grupo de Lie $\mathfrak{G}$ es un homomorfismo de $\mathfrak{G}$ à $GL(\mathcal{V})$ , es decir una transformación que "respete el producto del grupo" de manera que, dado $\gamma,\,\zeta\in\mathfrak{G}$ tenemos $\rho(\gamma\,\zeta)=\rho(\gamma)\,\rho(\zeta)$ . Y, como se ha comentado anteriormente, las transformaciones lineales de la forma $\rho(\gamma),\,\tilde{\rho}(\tilde{\gamma}) \in GL(\mathcal{V})$ para $\gamma \in\mathfrak{G}$ y $\tilde{\gamma} \in\tilde{\mathfrak{G}}$ debe ser unitaria para que los estados cuánticos transformados permanecer normalizado . Así que podemos ver que $GL(\mathcal{V})$ es muy diferente de $\mathfrak{G}$ o $\tilde{\mathfrak{G}}$ : ¡Los impulsos de Lorentz no son, sin duda, unitarios! Decimos que $\mathfrak{G}$ o $\tilde{\mathfrak{G}}$ "actuar en el espacio de estado $\mathcal{V}$ a través de las representaciones $\rho$ , $\tilde{\rho}$ ".

Estoy usando aquí más la descripción de los matemáticos de una representación, porque aquí (no soy siempre tan quisquilloso) creo que es más claro que los físicos porque tenemos que tener en cuenta que hay dos clases diferentes de representaciones en nuestra discusión: aquellos por los que el grupo de transformaciones de coordenadas $\mathcal{G}$ actúan en el espacio de estado $\mathcal{V}$ y aquellas por las que su portada $\tilde{\mathcal{G}}$ actúa sobre $\mathcal{V}$ .

Instrucciones de horneado: El teorema de Wigner y por qué son interesantes las tapas

¿Por qué nos interesan las cubiertas? Después de todo, los elementos de $\tilde{G}$ no son la transformación "física" de las coordenadas. Aquí es donde nos encontramos con nuestro horno para nuestros ingedientes: Teorema de Wigner . Claramente, cuando nuestra escena $\mathcal{U}$ se somete a una transformación de coordenadas, entonces las transformaciones realizadas en el estado cuántico tienen que preservar los productos internos en el espacio de estado cuántico para que el estado se mantenga correctamente normalizado. Sólo a partir de esta suposición, es decir NO hay que asumir la linealidad Wigner demostró que cuando la escena $\mathcal{U}$ sufre una "simetría" (una transformación de Lorentz), el espacio de estados debe sufrir un "homomorfismo proyectivo" $\sigma$ es decir, si $\gamma,\,\zeta$ son dos transformaciones de Lorentz, entonces la transformación del espacio de estado correspondiente a su producto es:

$$\sigma(\gamma\,\zeta) = \pm \sigma(\gamma)\,\sigma(\zeta)\tag{1}$$

El hecho de que no obtengamos exactamente un homomorfismo es la razón por la que nos interesan las cubiertas: la imagen de la representación $\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$ (recordemos que se trata de un grupo de operadores unitarios en $GL(\mathcal{V})$ actuando en el espacio de estado) de la cubierta $\tilde{\mathfrak{G}}$ contiene tanto las transformaciones que cumplen el genuino $+$ -en (1) (que son simplemente operadores unitarios en la imagen $\rho(\mathfrak{G})$ del grupo de transformación de coordenadas $\mathfrak{G}$ ) Y las que invierten el signo. Así que si permitimos representaciones de la cubierta, obtenemos todas las posibles transformaciones unitarias (incluso sin una suposición de linealidad - esto se deduce automáticamente) que pueden ser forjadas en el espacio de estados $\mathcal{V}$ cuando la escena $\mathcal{U}$ se transforma.

Este es el chiste.

Estados cuánticos que se transforman por las transformaciones propias de la imagen $\rho(\mathfrak{G})$ de $\mathfrak{G}$ bajo el homomorfismo genuino $\rho$ se llaman vectores .

Estados cuánticos que se transforman por las transformaciones propias de la imagen $\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$ de la portada $\tilde{\mathfrak{G}}$ bajo el "homomorfismo proyectivo" $\tilde{\rho}$ se llaman espinores .

Lo anterior puede pensarse intuitivamente como sigue: en la mecánica cuántica, una fase global $e^{i\phi}$ La multiplicación del estado cuántico de un sistema no afecta a las mediciones que realizamos sobre el sistema. Así que a los sistemas cuánticos "no les importa si un homomorfismo es genuino o proyectivo".

La cobertura universal (única) del grupo de Lorentz $SO(1,3)$ es el grupo $SL(2,\,\mathbb{C})$ . Así que los "espinores" se transforman por una representación de $SL(2,\,\mathbb{C})$ . Los vectores se transforman mediante una representación de $SO(1,3)$ . La palabra "espinor" puede ser bastante vaga en mi experiencia: puede referirse a la transformación en $SL(2,\,\mathbb{C})$ en lugar del estado cuántico que es transformado por él, y la gente suele hablar de los cuaterniones unitarios como "espinores": El capítulo 11 del libro "Road To Reality" de Roger Penrose define sencillamente un espinor como algo que toma un signo negativo al girar por $2\,\pi$ y vuelve a su punto inicial después de un giro por $4\,\pi$ . Esta es en realidad una definición bastante buena, ya que es exactamente así como los elementos de una representación de $SL(2,\,\mathbb{C})$ actúan en el espacio de estado $\mathcal{V}$ y es la diferencia esencial entre cómo los elementos de una representación de $SO(1,3)$ actúan sobre los espacios de estado.

Olvídate de las "cantidades con dirección" como definición de un vector: en física la palabra "vector" siempre habla de cómo algo transforma cuando nuestro escena $\mathcal{U}$ sufre una simetría. Recuerda que esto se acerca bastante al significado literal de la palabra vehor (transliterado como vector) significa literalmente "soy llevado" o "soy transportado" en latín, así que se trata de cómo el "vector" es llevado, ya sea por una transformación en física o como un patógeno en biología (el significado original de la palabra en inglés).

Answer 2

Por la pregunta veo que te confundes con el significado de "Normalmente los estados son vectores en espacios de dimensión infinita", no con los espinores. La función es una buena representación de un vector en un espacio infinito. Consideremos la función $\psi(\bf{r})$ . Este es un vector de un espacio de dimensión infinita. ¿Qué pasará con esta función cuando rotemos el espacio? No ese espacio imaginario de dimensión infinita, sino el espacio real que es $\bf{r}$ (el argumento de esa función). En el espacio real es una constante (espín $=0$ ) porque si se gira esa función, puede hacerse sólo teniendo en cuenta cómo argumento de la función $\bf{r}$ se modifica al girar el espacio.

Resulta que hay casos más complicados. En algunos casos hay que considerar no una función, sino dos $(\psi_{\uparrow}(\bf{r}),\psi_{\downarrow}(\bf{r}))$ o tres $(\psi_{x}(\bf{r}),\psi_{y}(\bf{r}),\psi_{z}(\bf{r}))$ funciones. Después de las rotaciones no basta con sustituir $\bf{r}$ con una nueva rotación $\bf{r}'$ . Las nuevas (dos o tres) funciones serán la combinación lineal de las originales rotadas. La matriz que las conecta suele ser la matriz que describe la rotación de espinores o vectores.