¿Cuál es la función de coste (índice de rendimiento) para los sistemas ODE de 2º orden?

Question

Tengo el siguiente sistema lineal de 2º orden con las condiciones iniciales adecuadas.

$$\textbf{X}''(t)+\textbf{A}(t)\textbf{X}'(t)+\textbf{B}(t)\textbf{X}(t)=\textbf{F}(t)+\textbf{C}(t)\textbf{U}(t)$$ $\textbf{X}$ es un vector desconocido.

$\textbf{A, B, C, F}$ son matrices que varían en el tiempo.

$\textbf{U}(t)$ es una matriz de entrada de control.

Me pregunto cuál es la función de coste (índice de rendimiento) para el siguiente sistema lineal de 2º orden para encontrar la función de control óptima $\textbf{U}(t)$ ?

Pero no he encontrado suficientes libros de referencia, artículos, etc. (¿Tienes buenas referencias?)

Es el siguiente funcional, ¿verdad?

$$J=\frac{1}{2}\int_{0}^{t_f}(\textbf{X}^T\textbf{QX}+\dot{\textbf{X}}^T\textbf{R}\dot{\textbf{X}}+\textbf{U}^T\textbf{ZU})dt$$

donde $\textbf{Q,R,Z}$ son las matrices semipositivas.

Answer 1

También se puede escribir la ecuación diferencial de segundo orden como una de primer orden utilizando

$$ \dot{z} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ -B(t) & -A(t) \end{bmatrix} z + \begin{bmatrix} 0 \\ F(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ C(t) \end{bmatrix} u $$

donde $z=\begin{bmatrix}x^\top & \dot{x}^\top \end{bmatrix}^\top$ .

Una función de coste cuadrática también puede generalizarse a

$$ J =\frac{1}{2}\int_0^{t_f} \begin{bmatrix}z \\ u\end{bmatrix}^\top \!M \begin{bmatrix}z \\ u\end{bmatrix} dt $$

con $M=M^\top\succeq0$ más vienen restricciones adicionales similares para LQR .