vProbar que el $\phi's$ forman una base para $V^*$

Question

Hola chicos. He aprendido álgebra lineal antes, pero se me olvidó la parte del espacio dual. Para este problema, creo que porque $V^*$ tiene la misma dimensión que V, que es n en este problema. Y como el número de $\phi's$ también son n. ¿Sólo necesito demostrar que son linealmente independientes, para demostrar que es una base dual? Gracias.

También si sé que ${(3,1),(2,-2)}$ es una base para $\Bbb R^2$ ¿Cómo puedo encontrar la base dual para $(\Bbb R^2)^*$ ?

Answer 1

La base dual de una base $\mathcal B=(e_1,\dots, e_n)$ es la base de las formas lineales definidas por $$e_i^*(e_j)=\delta_{ij}~(\text{Kronecker's symbol})=\begin{cases}1&\text{if }i=j,\\0&\text{if }i\ne j.\end{cases}$$ Esta caracterización es suficiente para demostrar la independencia lineal de $\mathcal B'=(e_1^*, \dots, e_n^*)$ .

De hecho, si $\lambda_1e_1^*+\dots+\lambda_n e_n^*=0$ , entonces para cada $i=1,\dots,n$ , $$(\lambda_1e_1^*+\dots+\lambda_n e_n^*)(e_i)=\lambda_i=0.$$

Answer 2

$V$ es un espacio vectorial y $\mathcal{B}$ es una base para $V$ , entonces una función arbitraria $f: \mathcal{B}\rightarrow \mathbb{F}$ es una función, esta función puede extenderse a una única función lineal $f\in{\rm Hom}_\mathbb{F}(V, \mathbb{F}).$

Answer 3

Se pueden tratar elementos de $(\mathbb R^{2})^*$ como vectores de fila, por lo que si $B$ es una matriz con los elementos de una base de $\mathbb R^2$ como sus columnas, el filas de $B^{-1}$ son los elementos de la base dual.