¿Existe un análogo del álgebra de Lie para el caso de los grupos topológicos que no son necesariamente variedades diferenciables, y en particular para los grupos finitos? Por ejemplo, debería haber algún análogo del "mapa exponencial"; toda representación lineal de un grupo debería ser también una representación lineal de su álgebra, y esto debería ser en cierto sentido compatible con el mapa exponencial entre los dos; etc.
Gracias,
Para los finitos $p$ -Grupos uno tiene la correspondencia de Lazard. Esto da una equivalencia de categorías entre $p$ -grupos de clase inferior a $p$ ("grupos de Lazard") y anillos de Lie de clase inferior a $p$ cuyos grupos aditivos son $p$ -grupos. Dada tal $p$ -grupo $G$ su corresponsal de Lazard es un anillo de Lie definido en el mismo conjunto subyacente que $G$ con la adición y el producto de corchetes definidos en términos de las operaciones de grupo como sigue:
$$ x +_L y = x y [x,y]^{-1/2} [y,[x,y]]^{7/12}[x,[y,x]]^{5/12} [y,[y,[y,x]]]^{5/8} [y,[x,[y,x]]]^{1/2}[x,[x,[y,x]]] ^{3/8}\ldots $$
$$[x,y]_L = [x,y][y,[x,y]]^{-1/2}[x,[y,x]]^{1/2}[y,[y,[y,x]]]^{-1/3}[y,[x,[y,x]]]^{-1/4}[x,[x,[y,x]]]^{-1/3}\ldots $$
(están relacionados con la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff). Ejemplo: para $G$ el extra-especial $p$ -grupo de orden $p^3$ y el exponente $p>2$ el anillo de Lie correspondiente es el álgebra de Lie de Heisenberg tridimensional sobre $\mathbb{F}_p$ . Véase, por ejemplo, el libro de Khukhro sobre $p$ -automorfismos de $p$ -o Lazard's On nilpotent groups and Lie rings.
Aquí hay una correspondencia de representaciones, pero sólo en pequeña dimensión. Cualquier característica $p$ rep puede considerarse como un homomorfismo hacia el grupo de los unitriangulares superiores $n\times n$ matrices. En $n\leq p$ esto tiene clase $\leq p-1$ y su anillo de Lie asociado es isomorfo, a través del mapa logarítmico, al álgebra de Lie de las matrices triangulares estrictamente superiores. Así que la funtorialidad da una correspondencia de representaciones de dimensión $\leq p$ .
Cabe señalar que en la característica p no suele ser posible encontrar un álgebra de Lie con la misma teoría de representación que un grupo dado. Esto se debe a que todas las álgebras de Lie tienen su cohomología finitamente generada sobre el subring generada por elementos de grado dos, mientras que pocos grupos tienen esta propiedad. Sin embargo, hay casos especiales milagrosos, como el grupo diedro de orden ocho, cuya álgebra de grupo modular es realmente isomorfa a un álgebra envolvente universal.
Esto lo estudia Helge Glockner en este bonito papel (que también tiene buenas referencias).
Si $G$ es un grupo finitamente generado que es nilpotente libre de torsión de clase $n$ entonces $G$ es el grupo de Lie de algún $\mathbb{Z}$ -Lie álgebra $\mathfrak g$ que también es nilpotente de clase $n$ . Por lo tanto, se puede definir un grupo algebraico $G(k)$ para cualquier campo $k$ tomando el exponencial de $\mathfrak g\otimes_{\mathbb{Z}} k$ .
Ahora bien, si $G$ es un grupo discreto, defina la serie racional como $D_i(G)=$ { $x \in G, x^r \in \Gamma_i(G)$ para algunos $r>0$ } donde $\Gamma_i(G)$ es el $i$ de la serie central inferior. Por lo tanto, por construcción $G/D_i(G)$ es nilpotente libre de torsión de clase $i$ por lo que se le puede asociar un álgebra de Lie $\mathfrak g_i(k)$ . Ahora defina $\mathfrak g(k)$ como el límite inverso del $\mathfrak g_i(k)$ . se llama el álgebra de Lie de Malcev de $G$ . Es un álgebra de Lie completa y separada pro-nilpotente. Conjunto $G(k)=\exp(\mathfrak g(k))$ es un grupo pro-unipotente que viene con un morfismo $G \rightarrow G(k)$ que es universal para esta propiedad. Nótese que si $\bigcap_{i\geq 0} D_i(G)$ = {1} (un grupo así se llama nilpotente libre de torsión) este morfismo es inyectivo, por lo que puede ocurrir que $G(k)$ captar un montón de cosas sobre $G$ .
En efecto, toda representación de $\mathfrak g(k)$ se extiende a una representación de $G(k)$ simplemente tomando la exponencial, y por lo tanto a una representación de $G$ . Por el contrario, cada $k$ -representación (pro-)unipotente de $G$ induce una representación de $\mathfrak g(k)$ .
Tenga en cuenta que $\mathfrak g(k)$ es un objeto bastante complicado, por lo que no parece ayudar mucho. Pero en muchos casos interesantes, $\mathfrak g(k)$ es isomorfa como álgebra de Lie filtrada a una álgebra de Lie graduada "fácil de manejar" (concretamente a la graduada asociada de $G$ (véase la respuesta de Ralph). En ese caso se obtiene algo parecido a la relación entre un grupo de Lie y su álgebra de Lie, más fácil de manejar.
Todo grupo localmente compacto $G$ contiene un subgrupo abierto, cerrado y casi conectado. Esta es una variante del teorema de van Dantzig. Retirar un subgrupo abierto y compacto en el grupo totalmente desconectado $G/G_0$ a lo largo de la suryección $G \twoheadrightarrow G/G_0$ , donde $G_0$ es el componente conectado de la identidad.
Un grupo casi conectado y localmente compacto $G'$ admite una red de subgrupos compactos normales $\cap N = \{ 1 \}$ y tal que $G'/N$ es isomorfo a un grupo de Lie, es decir $G'$ es un límite proyectivo de los grupos de Lie:
$$ G' = \lim\limits_{\leftarrow} G'/N.$$
Esta es la solución al 5º problema de Hilbert.
Ahora, uno es capaz de definir todo a través de los límites inductivos y proyectivos.
Edición: Por lo que tengo entendido, estos son los sistemas de grupos de Lie proejtivos también considerados en la referencia de Igor Rivin. Terrence Tao ha escrito algo sobre esto en su blog: http://terrytao.wordpress.com/2011/10/08/254a-notes-5-the-structure-of-locally-compact-groups-and-hilberts-fifth-problem/ Una nota personal: no es necesario entender las pruebas para aplicar los teoremas.
Si $G$ es un grupo y $G = \gamma_{0}^p(G) \supseteq ... \supseteq \gamma_{k}^p(G) \supseteq \gamma_{k+1}^p(G)\supseteq ...$ su serie central p-baja, entonces tenemos el álgebra de Lie asociada sobre $k := \mathbb{F}_p$ :
$$\operatorname{gr}^p(G) = \bigoplus_{k\ge 0}\gamma_{k}^p(G) / \gamma_{k+1}^p(G)$$ esos corchetes de Lie están dados por el mapa del conmutador: $[\bar{x},\bar{y}] := \overline{[x,y]}$ .
Podemos asociar $G$ con otra álgebra de Lie: Sea $I$ sea el ideal de aumento de $kG$ . Tenemos el anillo graduado $\operatorname{gr}(kG):= \bigoplus_{k\ge 0} I^k/I^{k+1}$ . Entonces el mapa $$\operatorname{gr}^p(G) \to \operatorname{gr}(kG),\; \bar{x} \mapsto \overline{x-1}$$ es un homomorfismo de Lie $k$ -algebras.
Ahora, por un célebre teorema de Quillen, el mapa inducido $$U(\operatorname{gr}^p(G) \otimes_{\mathbb{Z}} k) \to \operatorname{gr}(kG)$$ es un isomorfismo de $k$ -algebras $(U$ denota la envoltura universal $)$ .
Como aplicación, se obtiene $H^\ast(G;k) \cong H^\ast(\operatorname{gr}^p(G);k)$ si $G$ es un $p$ -grupo. Por tanto, en este caso se puede calcular la cohomología de grupo mediante la cohomología del álgebra de Lie.
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