La desigualdad de Jensen y una estimación en $L^p$

Question

Sur problema 3 que tenemos:

Si $f:\mathbb{R} \longrightarrow\mathbb{R}$ es mensurable, $E:=\mathrm{supp}\ f$ y

$$\int_E e^{|f(x)|}dx =1,$$

entonces $f\in L^p(\mathbb{R})$ para todos $p\in(0,\infty)$ y

$$\|f\|_p \leq Cp,$$ donde la constante $C$ no depende de $f$ ou $p$ . Además, existen $f\notin L^{\infty}(\mathbb{R})$ tal que $\int_E e^{|f(x)|}dx =1$ .

Así, para $p=1$ tenemos $|f(x)|\leq e^{|f(x)|}$ De ahí que $\|f\|_p \leq 1$ .

Si $|E|<\infty$ y $0<p<1$ entonces $\phi(y):=y^{1/p}$ es convexo, y, por la desigualdad de Jensen,

$$\bigg(\frac1{|E|}\int_E |f(x)|^p dx\bigg)^{1/p} \leq \frac1{|E|}\int_E |f(x)|dx,$$

lo hay,

$$\|f(x)\|_p \leq |E|^{-1-1/p}.$$

Pero esto no resuelve el problema. He intentado utilizar la desigualdad de Jensen para $\phi(y) = e^{y}$ por si acaso $p\geq 1$ pero no concluye el resultado.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Noe que $\mathrm e^t\geqslant t$ por cada $t\geqslant0$ por lo que $\mathrm e^{pt}=(\mathrm e^t)^p\geqslant t^p$ por cada $p\gt0$ . Usando esto para $t=s/p$ rinde $s^p\leqslant p^p\mathrm e^s$ por cada $s\geqslant0$ . Por lo tanto, para cada $p\gt0$ , $|f|^p\leqslant p^p\mathrm e^{|f|}\mathbf 1_E$ .

Integrando esta desigualdad puntual se obtiene $\|f\|_p^p\leqslant cp^p$ con $c=\int\limits_E\mathrm e^{|f|}$ . En el presente caso, $c=1$ por lo que demostramos que $\|f\|_p\leqslant p$ .

Para la segunda pregunta, intente $f=\mathbb 1_E$ para algún tipo de $E$ .

Para la segunda pregunta revisada, intente $f=\sum\limits_{n\geqslant1}n\mathbf 1_{E_n}$ donde $|E_n|=1/(2\mathrm e)^n$ por cada $n\geqslant1$ y los conjuntos $E_n$ son disjuntos.