Qué son todos los triples $(x, y, z)$ de manera que se cumplan las tres ecuaciones siguientes: $$x(y + z - 5) = 7,$$$$y(x + z - 5) = 7,$$$$x^2 + y^2 = 50.$$ Según Wolfram Alpha sabemos que $(-7,-1,5)$ , $(-5,-5,43/5)$ , $(-1,-7,5)$ , $(1,7,5)$ , $(5,5,7/5)$ , $(7,1,5)$ son las únicas soluciones. Pero, ¿cómo sabemos que no hay más soluciones?
Respuesta
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Restando las dos primeras ecuaciones, tenemos $$(z-5)(x-y)=0$$
Consideremos dos casos:
- Si $z=5$ entonces tenemos $xy=7$ y $x^2+y^2=50$ .
$$x^2+\frac{49}{x^2}=50$$
$$x^4-50x^2+49=0$$
$$(x^2-49)(x^2-1)=0$$
Resolver esto nos daría $4$ soluciones, correspondientes a cuando $x=\pm 7, \pm 1$ . Dado $z$ y $x$ , $y$ se determina.
- Si $x=y$ entonces $2x^2=50$ , $x=\pm 5$ Esto nos da otra $2$ soluciones. Conociendo $x$ y $y$ , $z$ se determina.
Por lo tanto, en total, tenemos $6$ soluciones.
