¿Son necesarias las construcciones de dimensión infinita para demostrar resultados de dimensión finita?

Question

Las construcciones de dimensión infinita, como los espacios de difeomorfismos, los espectros, los espacios de caminos y los espacios de conexiones, aparecen por toda la topología. Me gustan bastante, porque a veces me ayudan a desarrollar una buena imagen mental de lo que ocurre. Emmanuel Farjoun, en la primera clase de un curso de topología algebraica de hace una década, describió el hecho de "sentirse cómodo con la idea de los manifiestos de dimensión infinita" como "uno de los principales avances conceptuales de la topología en la última mitad del siglo XX". Pero, como me di cuenta ayer en una discusión, no entiendo si los espacios de dimensión infinita son necesario o si son simplemente una muleta intuitiva.

¿Existen situaciones en las que un resultado significativo de dimensión finita requiera estrictamente una construcción de dimensión infinita para demostrarlo o para entenderlo correctamente?
Si la respuesta es no, entonces al menos ¿hay teoremas importantes de dimensión finita para los que las pruebas de dimensión infinita sean "claramente" las más fáciles y naturales? (por alguna razón conceptual que puedas explicar; no sólo "todavía no se conoce una prueba de dimensión finita").

Una pregunta estrechamente relacionada es este aunque su enfoque es algo diferente, y ninguna de las respuestas allí se aplica aquí; sin embargo, la respuesta de Andrew Stacey, que argumenta que las construcciones de dimensión infinita no suelen ser estrictamente necesarias, es relevante.
Modifier : Tu resultado favorito de dimensión finita demostrado por medios de dimensión infinita responde a esta pregunta sólo si puedes explicarme por qué no debería esperar que exista una prueba de dimensión finita o que sea tan "buena".

Answer 1

En su famosa prueba de la conjetura de Poincare, Perelman dedujo de forma heurística una fórmula clave de monotonicidad para el flujo de Ricci de dimensión finita, interpretando este flujo como una versión renormalizada de una variedad plana de Ricci de dimensión infinita. Sin embargo, a continuación dio una prueba separada y rigurosa de esta monotonicidad que evitaba cualquier análisis de dimensión infinita (aunque era ciertamente más larga y tediosa que la prueba heurística de dimensión infinita). Véanse mis notas de la conferencia en

http://terrytao.wordpress.com/2008/04/27/285g-lecture-9-comparison-geometry-the-high-dimensional-limit-and-perelman-reduced-volume/

EDIT: Como se ha señalado en otro lugar, suele ocurrir que un resultado finito que es demostrable por medios infinitos, también puede demostrarse por medios finitos, y la fórmula de monotonicidad de Perelman no es una excepción. Sin embargo, lo que me llama la atención de este ejemplo es que no conocemos ninguna vía plausible por la que Perelman (o cualquier otro) pudiera haber descubierto la fórmula sin utilizar primero el marco conceptual del plano de Ricci infinito. Para mí, aquí es donde reside la mayor parte del valor de las matemáticas infinitas; no necesariamente en ser capaces de demostrar cosas que no eran demostrables finitariamente, o incluso en dar pruebas que son más cortas que sus contrapartes finitas (aunque ciertamente pueden hacerlo), sino en proporcionar marcos conceptuales limpios y poderosos para descubrir cuáles son las cosas correctas que hay que demostrar en primer lugar.

Answer 2

Cualquier grupo de Lie compacto admite una incrustación en un gran grupo lineal $GL_n (\mathbb{C})$ .

Creo que no hay duda de que se trata de una afirmación realmente finita e importante. La prueba es a través del teorema de Peter-Weyl; esencialmente hay que demostrar que hay suficientes representaciones de dimensión finita. ¿Cómo se hace esto? Hay una representación fiel obvia en el espacio de Hilbert $L^2 (G)$ . Se construye un compacto, $G$ -equivariante operador autoadjunto e inyectivo $F$ en $L^2 (G)$ . Por el teorema espectral, la suma de los eigenspaces de $F$ es denso en $L^2 (G)$ y son de dimensión finita, ¡así que aquí hay un montón de representaciones de dimensión finita! Por supuesto, la integridad del espacio de Hilbert es crucial. Lo curioso es que el papel de la teoría del espacio de Hilbert es reducir las cosas de dimensiones infinitas a dimensiones finitas.

La aparición de espacios de dimensiones infinitas en la geometría compleja (véase la respuesta de Georges), la teoría de Hodge, las EDP elípticas, etc., tiene, por supuesto, un sabor similar.

Por otra parte, parece que en topología algebraica, la mayoría de los espacios de dimensión infinita pueden ser expulsados por aproximación de dimensión finita, por supuesto al precio de hacer más engorrosos los argumentos. Los espacios de dimensión infinita del topólogo algebraico son del tipo $\mathbb{R}^{\infty}$ -y no del tipo $\ell^2$ -tipo. La completitud no juega un papel importante en la topología algebraica.

Answer 3

La prueba de Douady de que existe un espacio que parametriza todos los subespacios analíticos compactos de un espacio analítico dado utiliza espacios analíticos de dimensión infinita. (Este espacio es el análogo para los espacios analíticos del esquema de Hilbert de Grothendieck, y ahora se denomina espacio de Douady. ) Así, Douady demuestra primero que el espacio de Douady existe como un manifold de Banach, y luego muestra que este espacio es de hecho finitamente dimensional.

Ver: El problema de moduli para subespacios analíticos compactos de un espacio analítico dado . Annales de l'institut Fourier, 16 nº 1 (1966), p. 1-95

Por cierto, este documento es muy famoso por sus primeras líneas, cuya traducción al inglés podría decirse así:

Dejemos que $X$ sea un espacio analítico complejo.

El objetivo de esta obra es dotar a su autor del título de Doctor en Ciencias Matemáticas y del conjunto $H(X)$ de todos los subespacios analíticos compactos de $X$ con la estructura de un espacio analítico.

Para formular de forma más precisa el segundo problema,...

Answer 4

Serre y Cartan escribieron una nota de Comptes Rendus Un teorema de finitud para variedades analíticas compactas donde demostraron que todos los espacios vectoriales complejos de cohomología $H^q(X,\mathcal F)$ de una variedad compleja compacta arbitraria $X$ son de dimensión finita. La prueba es el estudio de complejos de espacios vectoriales topológicos de Fréchet $C^q(U,\mathcal F)$ constituido por cadenas de Cech, donde el $U$ son adecuados subconjuntos abiertos de Stein de $X$ El núcleo técnico del artículo es un teorema de Laurent Schwartz sobre morfismos completamente continuos de espacios de Fréchet.

Del mismo modo, toda la teoría de Hodge para las variedades compactas de Kähler consiste en afirmaciones sobre los espacios vectoriales de cohomología de dimensión finita que se obtienen recurriendo en gran medida al análisis funcional (en espacios de dimensión infinita, naturalmente): Espacios de Sobolev, operadores pseudodiferenciales, etc.

Answer 5

Hay ciertos resultados sobre los espacios de representación de los grupos de superficie que sólo sé demostrar utilizando la teoría de Yang-Mills, es decir, estudiando el espacio infinito de conexiones (o más bien una terminación del espacio de Sobolev) sobre un haz principal. En particular, se pueden calcular los grupos de homotopía de las variedades algebraicas reales Hom $(\pi_1 M^g, U(n))$ a través de un rango (aproximadamente el rango estable para $\pi_* U(n)$ ) identificando este espacio con el espacio de conexiones planas en $M\times U(n)$ modulo basado en la equivalencia gauge. La teoría de Yang-Mills (en particular, el trabajo de Atiyah-Bott, Uhlenbeck, Daskalopoulos y Rade) puede utilizarse para demostrar que el espacio de conexiones planas está altamente conectado. A grandes rasgos, es el conjunto crítico mínimo para el funcional de Yang-Mills, y los demás conjuntos críticos tienen un alto índice de Morse. Esto significa que el espacio de conexiones planas modulo basado en la equivalencia gauge es razonablemente cercano al espacio clasificador del grupo gauge. Este último es (un componente de) Map $_* (M^g, BU(n))$ cuyos grupos de homotopía son computables en un rango de dimensiones.

Supongo que podría haber alguna aproximación de dimensiones finitas a estos resultados, pero no conozco ninguna. (Debo decir que Hom $(\pi_1 M^g, U(n))$ es conectado, y esto tiene una prueba de dimensión finita debida a Nan-Kuo Ho y C.-C. Melissa Liu, utilizando algo de teoría de Lie y hechos sobre mapas de momento cuasi-hamiltonianos).