Escala de las variables aleatorias

Question

Nota: Utilizaré $\mathbb{P}\{X \in dx\}$ para indicar $f(x)dx$ donde $f(x)$ es el pdf de $X$ .

Mientras hacía algunos deberes, me encontré con un fallo en mi intuición. Estaba escalando una variable aleatoria estándar normalmente distribuida $Z$ . Edición: Me faltaban los infinitesimales $dx$ y $dx/c$ para que todo funcione al final. ¡Gracias Jokiri! $$\mathbb{P}\{cX \in dx\} = \frac{e^{-x^2 / 2c^2}}{\sqrt{2\pi c^2}}$$ mientras que $$\mathbb{P} \left\{X \in \frac{dx}{c}\right\} = \frac{e^{-(x/c)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$$

¿Podría alguien ayudarme a entender por qué no se cumple la siguiente igualdad? Edición: lo hace, ver la edición de abajo $$\mathbb{P}\{cX \in dx\} \ne \mathbb{P} \left\{X \in \frac{dx}{c}\right\}$$

He estado mirando, y parece que la igualdad de la cdf se mantiene, sin embargo: $$\mathbb{P}\{cX < x \} = \mathbb{P}\left\{X < \frac xc\right\}.$$

Gracias de antemano.

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Esta pregunta surgió de un error tonto por mi parte. Permítanme intentar aclarar las cosas.

Dejemos que $Y = cX$ . Sea $X$ tener pdf $f_X$ y $Y$ tener pdf $f_Y$ .

$$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[cX] = \int_{-\infty}^\infty cx\,f_X(x)\mathop{dx} =\int_{-\infty}^\infty y\, f_X(y/c) \frac{dy}{c}$$

Así que, $f_Y(y) = \frac 1c f_X(y/c)$ .

Gracias por la ayuda, y perdón por mi error.

Answer 1

Dejando de lado el rigor y siguiendo tu intuición sobre las probabilidades infinitesimales de encontrar una variable aleatoria en un intervalo infinitesimal, observo que los lados izquierdos de tus dos primeras ecuaciones son infinitesimales mientras que los lados derechos son finitos. Por lo tanto, son claramente erróneas, incluso interpretadas de forma imprecisa. Tienen sentido si se multiplican los lados de la derecha por las longitudes de los intervalos infinitesimales, $\mathrm dx$ y $\mathrm dx/c$ respectivamente, y entonces todo sale bien.

Answer 2

Como tú mismo has dicho, $\mathbb P \left\{ X \in dx \right \} = f(x)dx$ así que $$\mathbb{P} \left\{cX \in dx\right\} = \frac{e^{-x^2/2c^2}}{\sqrt{2\pi c^2}}dx$$

y

$$\mathbb{P} \left\{X \in \frac{dx}{c}\right\} = \frac{e^{-(x/c)^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\frac{dx}{c}=\mathbb{P} \left\{cX \in dx\right\}$$