Tal "cubierta universal étale" existe al menos si $X$ es noetheriano y geométricamente unibranquial (y para todos los qcqs $X$ si se consideran los tipos de homotopía profinita étale).
Antecedentes. Consideraré el tipo de homotopía étale de un esquema como un objeto en el $\infty$ -categoría $\mathrm{Pro}(\mathcal S)$ de los pro-espacios. En el $\infty$ -categoría $\mathcal S$ la cubierta universal de un espacio punteado $(X,x)$ se puede caracterizar como el objeto inicial en el $\infty$ -categoría de puntas $0$ -morfismos truncados a $(X,x)$ (es decir, morfismos con fibras discretas). Del mismo modo, se puede definir $0$ -morfismos truncados en $\mathrm{Pro}(\mathcal S)$ y todo objeto puntiagudo admite una cubierta universal. Referencias para el tipo de homotopía étale y para $n$ -truncado/ $n$ -morfismos conectados en $\mathrm{Pro}(\mathcal S)$ son las secciones E.2 y E.4.2 en Geometría algebraica espectral .
Dejemos que $\mathcal S_{<\infty}$ sea el $\infty$ -de espacios truncados y que $\mathrm{Et}\colon \mathrm{Sch} \to \mathrm{Pro}(\mathcal S_{<\infty})$ sea el tipo de homotopía protuberante que es la encarnación homotópica de la construcción de Artin y Mazur. Bajo la equivalencia $$\mathrm{Pro}(\mathcal S_{<\infty}) \simeq \mathrm{Fun}^\mathrm{acc,lex}(\mathcal S_{<\infty},\mathcal S)^\mathrm{op},$$ $\mathrm{Et}(X)$ es el functor $\mathcal S_{<\infty}\to\mathcal S$ enviar un espacio truncado $K$ a las secciones globales $\Gamma(X_\mathrm{et},K)$ de la gavilla constante étale en $X$ con valor $K$ .
Construcción. Dejemos que $X$ sea un esquema con un punto geométrico $x\colon \operatorname{Spec} k\to X$ con $k$ cerrado por separado. Consideremos la categoría $\mathrm{FEt}(X,x)$ de cubiertas etélicas finitas y puntiagudas de $X$ , es decir, factorizaciones de $x$ a través de un morfismo étale finito $X'\to X$ . Esta categoría tiene límites finitos y, en particular, está cofiltrada (también es esencialmente pequeña). Así, el límite $\tilde X$ del funtor de olvido $$ \mathrm{FEt}(X,x) \to \mathrm{Sch}_{/X} $$ existe (nótese que $\tilde X$ depende de $x$ por lo que la notación es abusiva). Este es un candidato natural para la "cubierta universal" de $(X,x)$ .
Ahora bien, la afirmación de que $\mathrm{Et}(\tilde X)\to\mathrm{Et}(X)$ es la cubierta universal del pro-espacio puntiagudo $(\mathrm{Et}(X),x)$ equivale a las tres condiciones siguientes: 1) el mapa $\mathrm{Et}(\tilde X)\to\mathrm{Et}(X)$ es $0$ -truncado, 2) $\mathrm{Et}(\tilde X)$ está conectado, y 3) $\pi_1^\mathrm{et}(\tilde X,x)$ es trivial.
Resultados.
1) siempre se cumple si $X$ es cuasi-compacto y cuasi-separado.
En primer lugar, afirmo que el functor $\mathrm{Et}$ preserva el límite del diagrama que define $\tilde X$ . Bajo la anterior equivalencia de $\infty$ -categorías, se trata de la afirmación de que para $K$ un espacio truncado, $\Gamma((-)_\mathrm{et},K)$ transforma este límite en un colímite, que es una propiedad estándar de la cohomología étale con respecto a los límites inversos de los esquemas qcqs. [Aquí es importante que $K$ está truncado, de lo contrario puede no ser cierto].
Entonces, si $p\colon X'\to X$ es finito etéreo, afirmo que el morfismo $\mathrm{Et}(p)\colon \mathrm{Et}(X')\to \mathrm{Et}(X)$ es $0$ -truncado. De hecho, es el pullback de un morfismo de groupoides $\pi\colon\Xi'\to\Xi$ con fibras discretas finitas. Para ver esto, observe que el morfismo de étale $\infty$ -topoi inducido por $p$ es a su vez el pullback de tal morfismo $\pi$ . La cuestión es entonces que para cualquier espacio $K$ , $\Gamma(X'_\mathrm{et}, K)$ es $\Gamma(X_\mathrm{et},p_*K)$ y $p_*K$ es una gavilla localmente constante en $X$ en un sentido fuerte: es el pullback de la gavilla $\pi_*K$ en $\Xi$ (el hecho de que las fibras de $\pi$ son espacios finitos se utiliza aquí, para conmutar el pushforward con el pullback). Así, se puede aplicar la Proposición 2.15 en Teoría de Galois superior para calcular $\Gamma(X_\mathrm{et},p_*K)$ en términos del tipo de homotopía étale de $X$ . Al descomprimir esta fórmula se obtiene $\mathrm{Et}(X')=\mathrm{Et}(X)\times_\Xi\Xi'$ . [Aquí, $K$ no necesita ser truncado, por lo que $p$ induce una $0$ -sobre los tipos de homotopía reales, y $X$ ni siquiera tienen que ser qcqs].
Por último, dado que $0$ -Los morfismos truncados son estables bajo límites, $\mathrm{Et}(\tilde X)\to\mathrm{Et}(X)$ también es $0$ -truncado.
2) también es válida si $X$ es qcqs. En este caso $\tilde X$ es conexo, ya que cualquier subconjunto cerrado de $\tilde X$ se eleva a un subconjunto cerrado de algún étale finito $X'\to X$ .
3) se mantiene si además suponemos que el grupo pro $\pi_1^\mathrm{et}(X,x)$ es profinita, por ejemplo, $X$ es noetheriano y geométricamente unibranquial. Entonces $\pi_1^\mathrm{et}(\tilde X,x)$ también es profinita por 1), por lo que 3) es equivalente a la afirmación de que toda cobertura étale finita de $\tilde X$ es trivial, lo que se mantiene por construcción.
Nótese que la suposición adicional para 3) no es necesaria si pasamos a las terminaciones profinitas. Es decir, si $X$ es qcqs, entonces $\mathrm{Et}(\tilde X)^\wedge \to \mathrm{Et}(X)^\wedge$ es la cubierta universal del tipo de homotopía profinita étale $(\mathrm{Et}(X)^\wedge,x)$ .
Ejemplo. Dejemos que $X=\mathbb G_m$ sobre un campo $k$ de característica cero, apuntando a $1$ por un cierre algebraico $\bar k$ de $k$ . Entonces $\tilde X=\operatorname{Spec}\bar k[t^{\pm 1}][t^{1/n}, n\geq 2]$ .
