¿Existe algún gráfico sencillo $\Gamma$ con 16 vértices con grupo de automorfismo completo $G$ tal que $H\cong Q_8$ sea un subgrupo normal semiregular de $G$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un ejemplo.
Matriz de adyacencia:
$ \left[ \begin{array}{cccccccccccccccc} 0&1&1&0&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&1&0&1&1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&1&1&1&0&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&1&0&1\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0\\0&1&0&1&0&0&0&0&1&0&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&0&0&0&1&0&0&1&0&0&0&0&1\\0&0&1&1&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0&1&0\\0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&1&1&1&0&0&0&0&1&0&0&1\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&1&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0 \end{array} \right]$
Vecinos de cada vértice:
$ \begin{array}{c|ccccc} 1&2&3&5&6&7\\ 2&1&4&5&6&8\\ 3&1&7&9&10&11\\ 4&2&8&9&10&12\\ 5&1&2&11&13&15\\ 6&1&2&12&14&16\\ 7&1&3&10&13&14\\ 8&2&4&9&13&14\\ 9&3&4&8&11&16\\ 10&3&4&7&12&15\\ 11&3&5&9&15&16\\ 12&4&6&10&15&16\\ 13&5&7&8&14&15\\ 14&6&7&8&13&16\\ 15&5&10&11&12&13\\ 16&6&9&11&12&14 \end{array} $
Es un grafo de Cayley sobre el grupo semidihédrico de orden 16. De hecho, es una representación gráfica regular, por lo que el grupo de automorfismo completo actúa regularmente sobre los vértices. Nótese que el grupo semidihédrico de orden 16 tiene un subgrupo (normal) isomorfo al grupo de cuaterniones.
