¿Existe una interpretación "agradable" de las representaciones virtuales?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo compacto y que $R(G)$ sea el anillo de representación de $G$ . Adicionalmente, $R(G)$ está generada por las representaciones irreducibles de $G$ . Por lo general, sólo se tratan las representaciones que son combinaciones enteras no negativas de las representaciones irreducibles. Sin embargo, a menudo se tienen fórmulas que se aplican a un elemento arbitrario de $R(G)$ y, por tanto, incluye las representaciones virtuales que (al menos para esta cuestión) son los elementos de $R(G)$ cuya descomposición en componentes irreducibles incluye coeficientes negativos.

Pregunta: ¿Existe alguna interpretación "natural" de las representaciones virtuales? En particular, aparte de la interpretación obvia como los elementos de la terminación formal del sembrado de las representaciones ordinarias a un anillo, ¿hay una manera natural de ver estos objetos? Serían especialmente útiles las imágenes/ideas que otros utilizan para asignar un significado a las representaciones virtuales (si las hay).

Motivación: A menudo, en la descomposición de diversas fórmulas que implican caracteres, surgen representaciones virtuales de una u otra manera. Por ejemplo, en los grupos de Lie, la noción de representación de mayor peso $\rho_\omega$ puede extenderse a pesos arbitrarios $t$ de $G$ a través de:

$\rho_{w(t)} = (-1)^w\rho_t$

En particular, si $t$ no es un peso dominante de $G$ entonces hay un único $w$ en el Grupo de Weyl de $G$ tal que $w(t)$ es un peso dominante para que $\rho_t$ se define para pesos arbitrarios $t$ ; obsérvese que la fórmula de la dimensión de Weyl concuerda con esta extensión. Si la longitud de $w$ es impar, entonces $\rho_t$ tendrá una dimensión negativa según la fórmula de la dimensión, por lo que es virtual.

Otro ejemplo sencillo es que al considerar la acción de la operación Adams $\psi^k$ en $R(G)$ , uno tiene que $\psi^k(\rho)$ es en general una representación virtual.

Sucede que de vez en cuando me encuentro con otros casos de representaciones virtuales que aparecen en ecuaciones que estoy considerando, y siempre trabajo con ellas ignorando si tienen una interpretación física o no, pero al mismo tiempo sería más satisfactorio si pudiera entender las ecuaciones como manifestaciones de alguna estructura más profunda.

Editar: Según el comentario de Qiaochu, sí, las representaciones virtuales pueden encajar en el marco de las superrepresentaciones. Si es cierto que las representaciones virtuales se consideran a menudo como superrepresentaciones, entonces quizás alguien podría explicar por qué las superrepresentaciones son tan naturales y cómo se resuelven los desajustes de las dimensiones entre las representaciones virtuales y las superrepresentaciones, es decir. $dim(\rho_1\ominus\rho_2) = dim(\rho_1)-dim(\rho_2)$ pero la dimensión de la superrepresentación correspondiente es $dim(\rho_1)+dim(\rho_2)$ .

Answer 1

Tu pregunta se refiere realmente a los espacios vectoriales virtuales: ¿qué es un espacio vectorial virtual?

Una vez que sabes lo que es un espacio vectorial virtual, sólo queda un pequeño paso para responder a tu pregunta.

Hay algunas respuestas posibles:

1- Un espacio vectorial virtual de un par de espacios vectoriales. Equivalentemente, es un $\mathbb Z/2$ -espacio vectorial graduado. Hay que pensar en el par $(V,W)$ como la diferencia formal $V-W$ . Este enfoque tiene el inconveniente de que no deja claro cuál debe ser un isomorfismo entre espacios vectoriales virtuales.

2- Un espacio vectorial de dimensión $n$ es lo mismo que un punto (¡sic!) del espacio topológico $BU(n)$ . Un espacio vectorial virtual es entonces un punto del espacio $BU:=\mathrm{colim}_{n\to \infty} BU(n)$ . Este enfoque no es en absoluto geométrico, pero funciona muy bien para hablar de haces vectoriales virtuales en un espacio $X$ : se trata de mapas continuos $X\to BU$ .

3- Fijar un espacio vectorial de dimensión infinita $U$ y una polarización $U=U_-\oplus U_+$ (ambos $U_-$ y $U_+$ son de dimensión infinita). Un espacio vectorial virtual es un subespacio (necesariamente de dimensión infinita) $V\subset U$ tal que $V\cap U_-$ es de codimensión finita dentro de $V+U_-$ .

4- Fijar un espacio de Hilbert de dimensión infinita $H$ . Un espacio vectorial virtual es un operador de Fredholm $F:H\to H$ (es decir, un operador con núcleo y cokernel de dimensión finita). Esto se relaciona con la definición 1 asignando al operador de Fredholm $F$ la pareja $(\ker(F),\mathrm{coker}(F))$ .

5- Un espacio vectorial virtual es un objeto de la categoría derivada acotada de los espacios vectoriales: es decir, es un complejo de cadenas.

Todas estas definiciones (a excepción de la 2, que es más complicada) pueden adaptarse fácilmente al contexto de $G$ -basta con sustituir "espacio vectorial de dimensión infinita" por " $G$ -rep que contiene cada irrep infinitamente a menudo".

Answer 2

Probablemente la respuesta general a tu pregunta sea "no", especialmente si trabajas en una situación clásica en la que todas las representaciones son completamente reducibles. Tu ejemplo con las operaciones de Adams ilustra que pueden ocurrir cosas misteriosas con las representaciones virtuales, para las que no conozco ninguna interpretación mejor.

En otras situaciones, como las representaciones modulares de los grupos finitos o los grupos algebraicos reductores, es natural a veces observar las secuencias exactas no divididas de los módulos. Esto nos lleva a una especie de "carácter de Euler" como $\mathbb{Z}$ -combinación lineal de módulos en la secuencia, con coeficientes realmente $\pm 1$ . (Esto surge, por ejemplo, en el estudio de los grupos de cohomología de gavillas de haces de líneas sobre una variedad bandera, donde el grupo actúa de forma natural en cada grado, pero la desaparición de Kodaira puede romperse gravemente).

En otra dirección, la construcción de Deligne-Lusztig de representaciones complejas ordinarias de un grupo finito de tipo Lie da lugar en general a un complejo de cohomología etale. En un primer momento, pueden extraer de él sólo el carácter de Euler; aquí los coeficientes integrales implicados pueden complicarse y suelen ser desconocidos, pero el propio carácter de Euler contiene mucha información. Aquí al menos se tiene una interpretación cohomológica para las contribuciones con signo al resultado final.

Answer 3

La respuesta de André más arriba explica perfectamente parte de la teoría abstracta de las representaciones "virtuales" (de un grupo arbitrario). Me gustaría dar una respuesta al caso especial que planteas, cuando $G$ es un grupo compacto. O, mejor aún, trabajaré con el caso cuando $G = \mathfrak g$ es un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre $\mathbb C$ .

Entonces, un lugar en el que aparecen los signos de los que hablas es en la fórmula de caracteres de Weyl. Elige una descomposición triangular $\mathfrak g = \mathfrak n^- \oplus \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+$ . Para cualquier peso $\lambda$ , dejemos que $V(\lambda)$ denota el módulo de Verma con mayor peso $\lambda$ (recordemos que $V(\lambda) = {\rm U}\mathfrak g \hspace{1ex}\otimes_{\rm U\mathfrak b}\hspace{1ex} \mathbb C_\lambda$ , donde $\mathfrak b = \mathfrak h \oplus \mathfrak n^+$ es el estándar de Borel, y $\mathbb C_\lambda$ es el unidimensional $\mathfrak b$ -módulo en el que $\mathfrak h$ actúa por $\lambda$ y $\mathfrak n^+$ actúa por $0$ ). Sea $L(\lambda)$ denotan el cociente de $V(\lambda)$ por su ideal propio máximo; es el único irreducible $\mathfrak g$ -módulo de mayor peso $\lambda$ . Recordemos que $\mathfrak h$ actúa de forma semipresencial sobre cualquier $\mathfrak g$ -módulo (incluyendo $M(\lambda)$ y sus cocientes y tensorandos y sumandos; "suficientemente agradable" se codifica, para los fines presentes, por "en la categoría $\mathcal O$ "), y que el grupo K del semisimple $\mathfrak h$ -es precisamente el anillo de grupo de $\mathfrak h^*$ (el espacio de los pesos). El carácter $\operatorname{ch}(M)$ de un $\mathfrak g$ -Módulo $M$ es su imagen tras el primer olvido del $\mathfrak g$ -acción a sólo un $\mathfrak h$ -y luego mirar el elemento que representa en $\mathbb Z[e^{\mathfrak h^*}]$ (o más bien en alguna terminación; para la categoría $\mathcal O$ Quiero tomar la terminación adic para el ideal generado por $e^{-\lambda}$ para las raíces simples $\lambda$ ).

El Fórmula de caracteres de Weyl afirma que, para $\lambda$ un peso integral dominante: $$ \operatorname{ch}(L(\lambda)) = \sum_{w\in \mathfrak W} \operatorname{sign}(w) \; \operatorname{ch}(V(w(\lambda+\rho)-\rho)), $$ donde $\rho$ es la mitad de la suma de las raíces positivas, $\mathfrak W$ es el grupo de Weyl, y $\operatorname{sign}: \mathfrak W \to \{\pm 1\}$ es $w \mapsto \det_{\mathfrak h}w = (-1)^{\operatorname{length}(w)} $ .

Si no existieran los signos allí, se podría esperar que esta fórmula proviniera de algún enunciado de la teoría de la representación de $\mathfrak g$ . Recordemos que tomar los grupos K de una categoría convierte las secuencias exactas en ecuaciones de adición. Entonces una prueba de la Fórmula de Carácter de Weyl puede seguir este esquema:

1. Escriba una matriz $b_{\lambda\mu}$ para el coeficiente de $\operatorname{ch}(V(\mu))$ sur $\operatorname{ch}(L(\lambda))$ .
2. Entonces la matriz inversa $(b^{-1})_{\mu\lambda}$ expresa el coeficiente de $\operatorname{ch}(L(\lambda))$ en una expansión de $\operatorname{ch}(V(\mu))$ .
3. Reconocer que cada $V(\mu)$ es una extensión de algún $L(\lambda)$ s - esto es en realidad una ecuación en la teoría de la representación de $\mathfrak g$ - y estudiando cómo $V(\mu)$ se construye a partir de $L(\lambda)$ s, entender lo suficiente de la estructura de $(b^{-1})_{\mu\lambda}$ para concluir el teorema.

El punto central es que la matriz inversa $b^{-1}$ sólo tiene entradas enteras no negativas, por lo que tiene la posibilidad de descender de algún problema de extensión en la teoría de la representación.

Entonces, ¿qué pasa con la fórmula del carácter de Weyl en sí? Como tiene coeficientes negativos, no puede expresar que $L(\lambda)$ es una extensión de los módulos de Verma. En cambio, se desprende del hecho de que $L(\lambda)$ tiene una resolución en los módulos de Verma, el llamado Resolución de BGG : $$ 0 \to M(w_0(\lambda+\rho)-\rho) \to \cdots \to \bigoplus_{w\in W \text{ s.t. }\operatorname{length}(w) = k} M(w(\lambda + \rho)-\rho) \to $$ $$ \cdots \to \bigoplus_{s \text{ a simple reflection}} M(s(\lambda + \rho) - \rho) \to M(\lambda) \to 0 $$ tiene homología sólo en el último punto, donde la homolgia es $L(\lambda)$ . (Creo que los diferenciales son sólo las inclusiones obvias de los módulos de Verma. Mi referencia para todo esto es mi colección de notas de clase del curso de Teoría de Lie de la UC Berkeley (capítulo 6.1) pero no entra en detalles).

Así que esta puede ser la "buena interpretación" que buscas. En el lenguaje de Andre, la cuestión es realizar módulos virtuales como objetos en la categoría derivada de módulos; es decir, complejos de cadenas. Entonces el complejo de cadenas anterior es isomorfo (en la categoría derivada) a su homología $L(\lambda)$ por la proyección $M(\lambda) \to L(\lambda)$ y la Fórmula de Carácter de Weyl es la descategorización de este isomorfismo. En general, la filosofía es que cualquier suma alternante de dimensiones que se produzca de forma natural debe proceder de un complejo en cadena. A la inversa, cualquier suma de dimensiones debe proceder de una extensión.