Axioma de la opción: ¿Cuál es mi argumento para demostrar el axioma de la opción fail? Ayúdame a entender por qué esto es un axioma y no un teorema.

Question

En términos puramente de la teoría de conjuntos, el axioma de elección, dice que para cualquier conjunto a $A$, su juego de poder (con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección, es decir, existe una función de $f\colon \mathcal{P}^*(A)\rightarrow A$ tal que para cualquier subconjunto $S$ de $A$, $f(S)\in S.$ Es esto correcto?

Mi pregunta es acerca de demostrar este hecho, de modo que no tenemos necesidad de ponerlo como un axioma. Ahora, según la investigación realizada en este objeto único- Axioma de Elección, creo que aquí que debe haber algún tipo de falsedad en mi argumento. No encuentro el error.

Para cualquier $S\in \mathcal{P}^*(A)$, desde $S\neq \emptyset$, $\exists s\in S$. Definir $f(S)=s$. A continuación, $f$ es una función de elección.

Esto me estaba mostrando que el axioma de elección es probado, pero entonces ¿por qué se había puesto como un axioma? Por ejemplo, en este libro, el autor afirma que

Es un metatheorem de la lógica matemática que es imposible especificar la función que asigna a cada no-vacío es subconjunto de a $\mathbb{R}$, un elemento de sí mismo.

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Hay varias notas y libros sobre el axioma de elección, pero aquí estoy tratando de entender a través de hacer algún argumento de que por algún problema, donde el problema de la realidad surge.

Answer 1

Cuando se mueve de a $\exists s\in S$, a la especificación de "Vamos a $s$ ser un elemento de $S$" se está utilizando lo que se conoce como instanciación existencial. Esta es una regla de inferencia de la lógica subyacente, con indicación de que si hay objetos de satisfacer algunas de bienes, podemos añadir un nuevo símbolo para la lengua con la afirmación de que este símbolo satisface nuestra propiedad.

Lo que se puede aplicar una vez, o dos, o tres veces, y si vives lo suficiente, y todo lo que hacemos es aplicar, entonces, tal vez incluso un par de billones de veces. Claro, todo es diversión y juegos. Pero ¿cómo se puede aplicar a todos y cada conjunto de números reales?

Usted simplemente no puede.

Así que lo que hice allí, en realidad, era para decir que se tiene una función de mapeo $S$ a un elemento de sí mismo, y que este era su uniforme existencial de la creación de instancias. Pero, ¿por qué una función de este tipo existen? Bien, la respuesta es que sin postular su existencia, es posible que no hay tal función existe. Por lo que debe tener el axioma de elección para afirmar la existencia de una función de este tipo, que pasa a ser exactamente lo que el axioma de elección está haciendo: permite a todos los conjuntos, y obtener existencial de la creación de instancias para todos ellos por el precio de uno; es decir, sólo se necesita para crear una instancia del cuantificador que indica "No existe una función de elección" de una vez, y el resto se da.

Permítanme añadir dos comentarios aquí.

1. Zermelo, históricamente, tratados con el axioma de elección como un principio de la lógica, en lugar de un axioma de la teoría de conjuntos. Probablemente para hacer exactamente lo que hice allí.

2. Muchos modernos prueba asistentes demostrar el axioma de elección, por exactamente el mismo argumento como este. Al eliminar cuantificadores existenciales como este de manera uniforme, sólo tiene que obtener una función de elección. Este no es un bug, de por sí, es más una consecuencia de las características de diseño.

Answer 2

Este es un confuso asunto, principalmente porque el tipo de razonamiento que utiliza en su prueba se toma generalmente para ser válido.

Sin embargo, con el fin de formalizar que el razonamiento axiomático que la teoría de conjuntos, necesitamos reducir a particular simbólico fórmulas en lógica formal del sistema. Y resulta que las reglas de la lógica simbólica y la teoría de conjuntos que son suficientes para expresar la mayoría de otros tipos de generalmente aceptados, las pruebas no pueden por sí mismos expresar su razonamiento.

Declaramos que esta no es la culpa de su razonamiento, pero de lo limitado de reglas lógicas que ya tenemos. Entonces nos pusimos a arreglar nuestro axiomático que la teoría de conjuntos mediante la adición de una nueva regla que indica que está permitido hacer lo que haces. Esta nueva norma es el axioma de elección.

Así que el problema con la prueba no es que no funcione, desde la perspectiva de ordinario la matemática, sino que lo que hace no es muy interesante. Simplemente dice que si aceptamos este tipo de razonamiento, entonces debemos concluir que este tipo de razonamiento obras, que en realidad no nos dice nada.

Lo que es una "prueba de que el axioma de elección" debe ser sería un argumento de que si no podemos extender nuestro sistema con esta nueva regla, todavía podemos demostrar todo lo que podemos demostrar con la regla. Pero eso significa que la prueba debe hacerse con menos herramientas que normalmente nos dejamos de usar.

De lo contrario, el resultado final sería algo así como afirmar que usted no necesita comprar un martillo para su caja de herramientas, porque todavía se puede conducir en las uñas. Cómo? Bueno, acaba de golpear el clavo con un martillo ...

Answer 3

Este es un malentendido acerca de la esencia de la teoría de conjuntos axiomática. En la teoría de conjuntos axiomática, no asuma que existe debido a que usted puede pensar en él; en un sentido, todo el punto de la teoría de conjuntos axiomática no es para hacer eso, para separar la noción de la existencia de conjuntos de tales pre-existente (retruécano previsto) nociones.

Cuando usted dice "Definir $f(S)=s$", ya estás asumiendo que $f$ existe. El punto de que el axioma de elección es permitir deducir la existencia de $x$ a partir de los axiomas. Si esto parece innecesariamente formal, considere la posibilidad de que antes de la aparición de la teoría de conjuntos axiomática probablemente parecía innecesariamente formal para preguntar si el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos existe. ¿A qué te refieres, ¿existe? Simplemente defina $A=\{x\mid x\text{ is a set that doesn't contain itself}\}$!

Answer 4

Buena pregunta!

Esto es realmente sutil cosas; es imposible dar una respuesta apropiada sin escoger un real sistema formal de la lógica de primer orden y tratando de formalizar su argumento en el interior. Después de mucha lucha, te darás cuenta de que no se puede hacer.

Informal, la explicación, sin embargo, es que se está implícitamente el uso de la "lógicos" axioma de elección:

AC. Para todos los conjuntos de $X$ $Y$ y todos los predicados $P : X \times Y \rightarrow \rm\{True,False\}$, tenemos: $$(\forall x \in X)(\exists y \in Y)P(x,y) \rightarrow (\exists f : X \rightarrow Y)(\forall x\in X)P(x,f(x))$$

en lo que va de

$$\forall S \in \mathcal{P}_{\neq 0}(A) \exists s \in A(s \in S),$$

que es comprobable en ZF, para

$$\exists s \in (\mathcal{P}_{\neq 0}(A) \rightarrow A)\forall S \in \mathcal{P}_{\neq 0}(A) (s(S) \in S),$$

que no es demostrable.

Usted puede estar interesado en esta vieja cuestión de la mina.