¿Por qué las transformaciones causadas por las mediciones no son unitarias?

Question

Se dice que, cuando se mide, un sistema cuántico sufre un "colapso de la función de onda", que es una transformación no unitaria.

¿Por qué?

La función de onda es

$\Psi = \alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$

donde

$\left|\alpha\right|^2 + \left|\beta\right|^2 = 1$

La suma de probabilidades tras la medición sigue siendo 1 por ejemplo, si el sistema se colapsa a $\left|0\right\rangle$ entonces

$\left|1\right|^2 + \left|0\right|^2 = 1$

Por ejemplo, si la función fuera

$\Psi = \frac{1}{\sqrt{2}} \left|0\right\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \left|1\right\rangle$

la transformación fue

$ \left[ \begin{array}{ c c } \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 \end{array} \right] $

¿No es esta transformación unitaria?

Answer 1

No.

Siempre que su estado sea $|\Psi \rangle = \alpha \left|0\right\rangle + \beta \left|1\right\rangle$ , entonces como usted dijo $\alpha$ y $\beta$ necesidad de satisfacer $\left|\alpha\right|^2 + \left|\beta\right|^2 = 1$ Así que digamos $\alpha = \beta = 1/\sqrt 2$ .

Si usted realiza una medición y encuentra que el sistema en el $\left|0\right\rangle$ estado, entonces el nuevo la función de onda será $\Psi =\left|0\right\rangle$ . Se puede escribir como $\Psi = \alpha \left|0\right\rangle$ pero debido a la normalización $|\alpha|^2$ debe ser 1, por lo que $\alpha$ debe ser 1 o un factor de fase puro.

Tenías que cambiar la normalización a mano (cambiando $\alpha$ de $1/\sqrt 2$ a $1$ ). Una transformación unitaria sobre $|\Psi \rangle$ afectaría sólo a los kets y no a las constantes. La evolución temporal de cualquier función de onda se rige por la ecuación de Schrodinger que, cuando se resuelve, es efectivamente una transformación unitaria -- las transformaciones unitarias dejan la norma sin cambios. La evolución temporal debida a la realización de mediciones, sin embargo, es algo totalmente diferente y no sigue el formalismo de la ecuación de Schrodinger.

Una transformación unitaria deja la norma sin cambios, ya que la norma de $U|\Psi \rangle$ es $\langle \Psi |U^{\dagger}U|\Psi \rangle = \langle \Psi | \Psi \rangle$ si $U$ es unitario. En tu caso concreto esto es cierto, pero sólo porque has tenido que cambiar manualmente la normalización de la función de onda posterior a la medición. Si la QM incluyera la medición, entonces debería haber una forma determinista de calcular cómo $\alpha$ o $\beta$ cambiaría. Pero no lo hace, así que hay que volver a normalizarlo.

Answer 2

Respondiendo a la pregunta del título: un proceso de medición es intrínsecamente no unitario. Una forma de ver esto es darse cuenta de que la unitaridad de un proceso es equivalente a que sea reversible.

Un proceso de medición es intrínsecamente no reversible, ya que parte de la información se pierde. Por ejemplo, al medir $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ en la base de cálculo, se puede obtener $|0\rangle$ o $|1\rangle$ . Las mismas salidas pueden obtenerse midiendo un estado diferente, por ejemplo $(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2$ . Esto significa que, dado un resultado de medición (digamos $|0\rangle$ ), no hay forma de saber de qué estado procede. Se pierde algo de información en el proceso. De ello se deduce que el proceso no puede ser descrito por una matriz unitaria.

Answer 3

Supongo que se refiere al resultado de cualquier observable $O$ actuando sobre un estado $\psi$ ya que el acto de medir algo se interpreta como un "promedio" de tales operadores sobre algún estado. Los observables generales son operadores autoadjuntos que no necesitan ser unitarios. Quizá el ejemplo más sencillo de un observable sea una proyección, es decir, un operador $P$ con la propiedad de que $P^*P = P$ (idempotente y autoadjunto). Supongamos que, en su caso, $P = |0\rangle\langle0|$ . El resultado de una medición de $P$ en su estado $\Psi$ cuando se repite $N$ veces, es $|\alpha^2|N$ veces SÍ (y por tanto $(1-|\alpha|^2)N$ veces no. Además, el resultado de $P\Psi$ es $\alpha|0\rangle$ que no es un vector normalizado, simplemente porque $P$ no es unitario.

Answer 4

La medición no es unitaria, porque no implementa un unitario. Selecciona un unitario.

Sin duda podemos decir que una preparación $|\psi_i\rangle$ y (renormalizado) resultado de la medición $|\psi_f\rangle$ están relacionados por una transformación unitaria $$|\psi_f\rangle = U_{fi} |\psi_i\rangle,$$ donde $U_{fi} \in U(2)$ . Sin embargo, sólo podemos decir esto una vez que se ha producido una medición.

Antes de la medición, los posibles resultados son $|{+}\psi_f\rangle$ y $|{-}\psi_f\rangle$ Así que todo lo que podemos decir es que $|\psi_i\rangle$ y el resultado aún no medido $|\psi_f\rangle$ están relacionados por $U_{fi}^+$ o $U_{fi}^-$ , donde $$|{+}\psi_f\rangle = U_{fi}^+ |\psi_i\rangle \hspace{1em} \text{and} \hspace{1em} |{-}\psi_f\rangle = U_{fi}^- |\psi_i \rangle.$$

Formalmente, podemos construir una clase de equivalencia de unitarios $U_{fi}^+ \sim U_{fi}^-$ sobre los posibles resultados del proceso de medición, de modo que $[U_{fi}^+] = [U_{fi}^-] \in U(2)/\mathbb Z_2$ representa la parte de la relación entre el estado inicial y el final que está fijada por nuestro montaje experimental.

La cuestión es que el proceso de medición implementa una transición $$ U(2)/\mathbb Z_2 \to U(2) \\ [U_{fi}^\pm] \mapsto U_{fi}^\pm $$ que rompe el $\mathbb Z_2$ simetría y selecciona un representante particular de $[U_{fi}^\pm]$ . En otras palabras, la relación unitaria $U_{fi}^+$ o $U_{fi}^-$ entre un estado inicial y el resultado de la medición no es una descripción del proceso de medición. Se trata de el resultado del proceso de medición.