Bloques conformes de haces vectoriales en $\overline{M}_{g}$ en términos de funciones theta generalizadas?

Question

La teoría de campos conformes utiliza la teoría de la representación para producir varios haces vectoriales en los espacios de módulos compactados de Deligne-Mumford $\overline{M}_{g}$ y $\overline{M}_{g,n}$ , conocidos como paquetes de bloques conformados o covacua . Varios autores (Beauville, Laszlo, Sorger, Pauly, Faltings, Kumar, Narasimhan, Ramanathan) demostraron a finales de los 80 y principios de los 90 que la fibra sobre un punto del interior (es decir, una curva suave) se identifica de forma natural con un cierto espacio de funciones theta generalizadas. En el momento en que se demostró esto no se había dicho mucho sobre los módulos de los haces vectoriales sobre curvas singulares, así que me pregunto si alguno de los tratamientos más recientes de los módulos de los haces G permite una extensión de este teorema al límite de Deligne-Mumford.

Por ejemplo, el haz de bloques conformes en $\overline{M}_g$ correspondiente a $\mathfrak{sl}_r$ , nivel $l$ tiene fibra sobre $C\in M_g$ igual a $H^0(SU_C(r),\mathcal{L}^l)$ , donde $SU_C(r)$ es el espacio de moduli de rango semiestable $r$ haces vectoriales con determinante trivial en $C$ y $\mathcal{L}$ es el haz de líneas determinante. ¿Existe una interpretación similar para las fibras sobre $C\in\overline{M}_g\setminus M_g$ ?

Answer 1

No creo que esto se haya resuelto con total generalidad, pero hay algunos resultados parciales de Ivan Kausz. Véase, por ejemplo, su artículo "A canonical decomposition of generalized theta functions on the moduli stack of Gieseker vector bundles". J. Algebraic Geom. 14 (2005), no. 3, 439-480.

Answer 2

Bajo un cierto supuesto de compatibilidad natural, existen contraejemplos debidos a Belkale-Gibney-Kazanova .

La hipótesis dice esencialmente que en un punto $[\mathrm{C}]$ del espacio de moduli $\overline{\mathscr{M}}_{g,n}$ , un álgebra obtenida de la fibra en $[\mathrm{C}]$ del haz de bloques conformes es isomorfa al álgebra de secciones de un haz de líneas $\mathscr{L}$ sobre alguna variedad. (Esto es válido siempre que $[\mathrm{C}]$ está en $\mathscr{M}_{g,n}$ si se toma $\mathscr{L}$ para ser el haz de líneas theta sobre algún espacio de moduli de las láminas en $\mathrm{C}$ , todo ello determinado por los datos de entrada (nivel, tipo de álgebra de Lie, etc.) que definen los bloques conformes).

Consideremos el caso clásico $\overline{\mathscr{M}}_2$ , $\mathfrak{sl}_2$ , $\ell=1$ . En caso de que $\mathrm{C}$ es suave, el espacio de moduli de las láminas en $\mathrm{C}$ con determinante trivial no es más que $\mathbf{P}^3$ y el haz de líneas theta es $\mathscr{O}(1)$ (teorema de Narasimhan y Ramanan). Belkale-Gibney-Kazanova demuestran (ejemplo 4.2 de su artículo) que si se toma $\mathrm{C}$ para ser una curva con un nodo de separación, se llega a un contraejemplo considerando la primera clase de Chern del haz de bloques conformes.

Se puede encontrar una fórmula para el carácter de Chern del haz de bloques conformes en un artículo de Marian-Oprea-Pandharipande-Pixton-Zvonkine .