Ya hay varias respuestas buenas, pero hay una forma importante de ver estas ecuaciones que no creo que ninguna de ellas haya tocado realmente.
En un sentido importante, el par de ecuaciones del plano con el que empiezas ya especifica la recta: es el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones, la intersección de los dos planos. Lo que realmente se te pide es que conviertas esta representación implícita de la recta en una representación diferente, a saber, un conjunto de ecuaciones paramétricas. La forma general de realizar esta conversión es resolver el sistema de ecuaciones, como sugieres. Cuando hay un número infinito de soluciones, como ocurre en este caso, acabarás teniendo una descripción paramétrica de la recta. Todo eso de los productos cruzados es en realidad un método geométrico para resolver este sistema de ecuaciones que aprovecha algunas propiedades especiales del espacio tridimensional: el producto cruzado de dos vectores sólo funciona realmente en tres dimensiones, los planos incrustados en espacios de mayor dimensión no tienen un único vector normal, etc.
Estas dos formas de representar una línea en el espacio tridimensional son un ejemplo de un fenómeno más general. Hay dos formas básicas de especificar una $m$ -subespacio dimensional de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones. La primera es describirlo como un span es decir, como el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto fijo de vectores. Esencialmente, se construye a partir de objetos de menor dimensión -el subespacio es el únase a de los objetos de menor dimensión. Esto es lo que es la ecuación paramétrica de una línea. La llamaré span representación.
La otra forma es dar un conjunto de $(n-1)$ -subespacios dimensionales -hiperespacios- cuya intersección es el $m$ -subespacio dimensional que se está describiendo. Básicamente, el subespacio es el conjunto de puntos comunes de alguna colección de objetos de mayor dimensión -el conozca de estos objetos. Estos subespacios suelen estar descritos por ecuaciones lineales homogéneas, por lo que se tiene un sistema de ecuaciones homogéneas cuyo conjunto de soluciones es el subespacio descrito. Obviamente, esto se corresponde con el sistema implícito de ecuaciones lineales que describe la línea anterior. (Cuando se aprende sobre espacios vectoriales duales , encontrarás que esto es equivalente a dar un conjunto de vectores duales que aniquilan todos el subespacio). Como este subespacio es el espacio nulo de la matriz que representa el sistema de ecuaciones, lo llamaré el espacio nulo representación.
Como he mencionado antes, se puede convertir de la representación del espacio nulo a la representación del tramo resolviendo el sistema de ecuaciones. Resulta que se puede convertir en la otra dirección de la misma manera: si se introduce cada uno de los vectores de extensión en una ecuación lineal con coeficientes desconocidos, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales en los coeficientes. La solución de este sistema te da entonces un sistema de ecuaciones lineales que describen el mismo espacio.
Ahora, un plano es básicamente un subespacio vectorial desplazado por algún vector fijo, es decir, el conjunto $\{\mathbf v+\mathbf u \mid \mathbf u\in U\}$ , donde $\mathbf v$ es un vector fijo y $U$ es un subespacio del espacio vectorial que lo rodea. A menudo verás este conjunto denotado por $\mathbf v+U$ . Evidentemente, si tenemos una representación de span para $U$ entonces tenemos una representación span para el plano $\mathbf v+U$ : sólo hay que añadir $\mathbf v$ a cada combinación lineal. Por la misma razón, también tenemos una representación del espacio nulo, pero los hiperplanos que se cruzan ya no pasan necesariamente por el origen, por lo que se representan mediante ecuaciones lineales no homogéneas. La solución de un sistema de ecuaciones de este tipo, si se recuerda, puede representarse como la suma de una solución particular y el espacio nulo del sistema homogéneo relacionado, que es exactamente lo que queremos. (En realidad, si se pasa a coordenadas homogéneas, entonces las ecuaciones de los hiperespacios también son homogéneas, y volvemos a que la solución es puramente el espacio nulo de la matriz de coeficientes).
